この記事では「キルヒホッフの法則」に関して、下記の例題を解き方を説明します。
- 「キルヒホッフの第1法則」の例題
- 「キルヒホッフの第2法則」の例題
- 「キルヒホッフの第1法則」と「キルヒホッフの第2法則」の両方を用いた例題
「そもそもキルヒホッフの法則(第1法則・第2法則)って何？」という方は以下の記事で詳しく説明していますので、ご参考になれば幸いです。 続きを見る
キルヒホッフの法則(第1法則・第2法則)とは？
キルヒホッフの法則の説明
まず最初にキルヒホッフの法則について簡単説明します。
キルヒホッフの法則は、すべての電気回路で使用することのできる万能の法則です。
キルヒホッフの法則には「第1法則」と「第2法則」があります。
後ほど各法則について詳しく説明しますが、簡単にまとめると下記のようになります。
キルヒホッフの第1法則
電流に関する法則です。
回路の任意の点(上図の場合はA点)において、「流れ込む電流の総和」と「流れ出す電流の総和」が等しい。
キルヒホッフの第2法則
電圧に関する法則です。
任意の閉回路(上図の場合は閉回路Ａ)において、「起電力の総和」と「電圧降下の総和」が等しい。
ではこれから「キルヒホッフの第1法則」と「キルヒホッフの第2法則」を用いた例題を解いていきましょう。
キルヒホッフの第1法則に関する例題
例題
上図は複雑な回路の一部を取り出したものです。この回路において、
- 電流\(I_1=2{\mathrm{[A]}}\)
- 電流\(I_2=9{\mathrm{[A]}}\)
- 電流\(I_3=4{\mathrm{[A]}}\)
の時、A点から流れ出す電流\(I_4\)は何\({\mathrm{A}}\)になるでしょうか。
キルヒホッフの第1法則は下記に示すように電流に関する法則です。
キルヒホッフの第1法則
回路の任意の点において、「流れ込む電流の総和」と「流れ出す電流の総和」が等しい。
そのため、「流れ込む電流の総和」と「流れ出す電流の総和」を求める必要があります。
「流れ込む電流の総和」を求める
まず、「A点に流れ込む電流の総和」を求めてみましょう。
「A点に流れ込む電流の総和」は上図より次式で表されます。
\begin{eqnarray}
\mbox{A点に流れ込む電流の総和}=I_1+I_2\tag{1-1}
\end{eqnarray}
「流れ出す電流の総和」を求める
次に、「A点から流れ出す電流の総和」を求めてみましょう。
「A点から流れ出す電流の総和」は上図より次式で表されます。
\begin{eqnarray}
\mbox{A点から流れ出す電流の総和}=I_3+I_4\tag{1-2}
\end{eqnarray}
キルヒホッフの第1法則は、任意の閉回路において、「流れ込む電流の総和」と「流れ出す電流の総和」が等しいという法則でした。
これは、(1-1)式で求めた「A点に流れ込む電流の総和」と(1-2)式で求めた「A点から流れ出す電流の総和」が等しいということなので次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\mbox{A点に流れ込む電流の総和}&=&\mbox{A点から流れ出す電流の総和}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1+I_2&=&I_3+I_4\tag{1-3}
\end{eqnarray}
(1-1)式に各値を代入すると、電流\(I_4\)を求めることができ、以下の値となります。
\begin{eqnarray}
I_1+I_2&=&I_3+I_4\\
\\
2+9&=&4+I_4\\
\\
{\Leftrightarrow}I_4&=&2+9-4\\
\\
&=&7{\mathrm{[A]}}\tag{1-4}
\end{eqnarray}
キルヒホッフの第2法則に関する例題
例題
上図に示す回路において、回路に流れる電流\(I\)は何\({\mathrm{A}}\)になるでしょうか。また、電流の流れる方向はどの向きになるでしょうか。
キルヒホッフの第2法則は下記に示すように電圧に関する法則です。
キルヒホッフの第2法則
任意の閉回路において、「起電力の総和」と「電圧降下の総和」が等しい。
そのため、「起電力の総和」と「電圧降下の総和」を求める必要があります。
「起電力の総和」を求める
まず、「起電力の総和」を求めてみましょう。
閉回路をたどる向きを時計回りに決めると、「起電力の総和」は次式で表されます(閉回路をたどる方向は自由に設定して頂いて大丈夫です)。
\begin{eqnarray}
\mbox{起電力の総和}=V_1-V_2+V_3-V_4\tag{2-1}
\end{eqnarray}
ポイント
「閉回路をたどる向き」と「起電力の向き」が同じ場合には、起電力が「正(＋)」となり、逆の場合には、起電力が「負(－)」となります。
例えば、上図の例題において、閉回路Aを見ると、電源電圧\(V_1\)は「閉回路をたどる向き」と同じなので「正(＋)」、電源電圧\(V_2\)は「閉回路をたどる向き」と逆なので「負(－)」となります。
「電圧降下の総和」を求める
次に、「電圧降下の総和」を求めてみましょう。
電流の向きを上図に示すような向きに決めると、「電圧降下の総和」は次式で表されます(電流の向きは自由に設定して頂いて大丈夫です)。
\begin{eqnarray}
\mbox{電圧降下の総和}=IR_1+IR_2+IR_3+IR_4\tag{2-2}
\end{eqnarray}
ポイント
「閉回路をたどる向き」と「電流の向き」が同じ場合には、起電力が「正(＋)」となり、逆の場合には、起電力が「負(－)」となります。
例えば、上図の例題において、閉回路Aを見ると、電流\(I\)は「閉回路Aをたどる向き」と同じなので「抵抗\(R_1\)による電圧降下\(IR_1\)」や「抵抗\(R_2\)による電圧降下\(IR_2\)」が「正(＋)」となっています。
キルヒホッフの第2法則は、任意の閉回路において、「起電力の総和」と「電圧降下の総和」が等しいという法則でした。
これは、(2-1)式で求めた「起電力の総和」と(2-2)式で求めた「電圧降下の総和」が等しいということなので次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\mbox{起電力の総和}&=&\mbox{電圧降下の総和}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_1-V_2+V_3-V_4&=&IR_1+IR_2+IR_3+IR_4\tag{2-3}
\end{eqnarray}
(2-3)式に各値を代入すると、電流\(I\)を求めることができ、以下の値となります。
\begin{eqnarray}
V_1-V_2+V_3-V_4&=&IR_1+IR_2+IR_3+IR_4\\
\\
10-20+15-30&=&4I+I+2I+3I\\
\\
-25&=&10I\\
\\
{\Leftrightarrow}I&=&-2.5{\mathrm{[A]}}\tag{2-4}
\end{eqnarray}
(2-4)式の電流\(I\)の値が負(-)になったので、電流\(I\)は「上図に示した向き」と逆向きに流れているということになります。
キルヒホッフの第1法則と第2法則の両方を用いた例題
例題
上図に示す2つの電源がある回路において、抵抗\(R_1\)～\(R_3\)に流れる電流\(I_1\)～\(I_3\)は何\({\mathrm{A}}\)になるでしょうか。また、電流の流れる方向はどの向きになるでしょうか。
この例題では、「キルヒホッフの第1法則」と「キルヒホッフの第2法則」の両方を用いて解く必要があります。
まず、「閉回路をたどる向き」と「電流の向き」を決めます。ここでは、上図に示す向きに「閉回路をたどる向き」と「電流の向き」を決めました(「閉回路をたどる向き」と「電流の向き」は自由に設定して頂いて大丈夫です)。
「キルヒホッフの第1法則」を用いる
上図の点Aに「キルヒホッフの第1法則」を用いると次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\mbox{A点に流れ込む電流の総和}&=&\mbox{A点から流れ出す電流の総和}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1&=&I_2+I_3\tag{3-1}
\end{eqnarray}
「キルヒホッフの第2法則」を用いる
上図の閉回路Aに「キルヒホッフの第2法則」を用いると次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\mbox{起電力の総和}&=&\mbox{電圧降下の総和}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_1&=&I_1R_1+I_3R_3\tag{3-2}
\end{eqnarray}
(3-2)式に各値を代入すると、次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
63&=&3I_1+6I_3\\
\\
21&=&I_1+2I_3\tag{3-4}
\end{eqnarray}
同様に、上図の閉回路Bに「キルヒホッフの第2法則」を用いると次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\mbox{起電力の総和}&=&\mbox{電圧降下の総和}\\
\\
-V_2&=&I_2R_2-I_3R_3\tag{3-5}
\end{eqnarray}
(3-5)式に各値を代入すると、次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
-84&=&12I_2-6I_3\\
\\
{\Leftrightarrow}14&=&-2I_2+I_3\tag{3-6}
\end{eqnarray}
連立方程式を解く
電流\(I_1\)～\(I_3\)と求めるものが「3つ」あるので、「3個」の関係式が必要となります。ここで、今まで求めた式を下記に示します。
\begin{eqnarray}
I_1&=&I_2+I_3\tag{3-1}\\
\\
21&=&I_1+2I_3\tag{3-4}\\
\\
14&=&-2I_2+I_3\tag{3-6}\\
\end{eqnarray}
これら「3個」の関係式で連立方程式を立てると、電流\(I_1\)～\(I_3\)を求めることができます。
色々なやり方がありますが、この記事では、まず電流\(I_3\)を無くすように計算します。(3-1)式を電流\(I_3\)の式に変形すると次式となります。
\begin{eqnarray}
I_3=I_1-I_2\tag{3-7}
\end{eqnarray}
(3-7)式を(3-4)式と(3-6)式に代入します。
(3-7)式を(3-4)式に代入すると、次式となります。
\begin{eqnarray}
21&=&I_1+2(I_1-I_2)\\
\\
21&=&3I_1-2I_2\tag{3-8}
\end{eqnarray}
(3-7)式を(3-6)式に代入すると、次式となります。
\begin{eqnarray}
14&=&-2I_2+(I_1-I_2)\\
\\
14&=&-3I_2+I_1\tag{3-9}
\end{eqnarray}
(3-9)式を変形すると、次式となります。
\begin{eqnarray}
I_1=14+3I_2\tag{3-10}
\end{eqnarray}
(3-10)式を(3-8)式に代入すると、電流\(I_2\)の値が得られます。
\begin{eqnarray}
21&=&3(14+3I_2)-2I_2\\
\\
21&=&42+9I_2-2I_2\\
\\
{\Leftrightarrow}I_2&=&-3{\mathrm{[A]}}\tag{3-11}
\end{eqnarray}
電流\(I_2\)の値が「負(-)」なので、電流の流れる方向は、最初に決めた「電流の向き」と逆向きになります。
(3-11)式を(3-10)式に代入すると、電流\(I_1\)の値が得られます。
\begin{eqnarray}
I_1=14+3×(-3)=5{\mathrm{[A]}}\tag{3-12}
\end{eqnarray}
電流\(I_1\)の値が「正(+)」なので、電流の流れる方向は、最初に決めた「電流の向き」と同じになります。
(3-11)式と(3-12)式を(3-7)式に代入すると、電流\(I_3\)の値が得られます。
\begin{eqnarray}
I_3=I_1-I_2=5-(-3)=8{\mathrm{[A]}}\tag{3-13}
\end{eqnarray}
電流\(I_3\)の値が「正(+)」なので、電流の流れる方向は、最初に決めた「電流の向き」と同じになります。
ここで、「本当の電流の向き」が流れている図を下図に示します。電流\(I_2\)は最初に設定した「電流の向き」と逆になることに注意してくださいね。
まとめ
この記事では「キルヒホッフの法則」に関して、下記の例題を解き方を説明しました。
- 「キルヒホッフの第1法則」の例題
- 「キルヒホッフの第2法則」の例題
- 「キルヒホッフの第1法則」と「キルヒホッフの第2法則」の両方を用いた例題
お読み頂きありがとうございました。
当サイトでは電気に関する様々な情報を記載しています。当サイトの全記事一覧は以下のボタンから移動することができます。
また、記事下に当サイトの人気記事を記載しています。ご参考になれば幸いです。
