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【回転導体棒の誘導起電力】『大きさ』と『向き』について解説!

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一様な磁束密度の中で導体棒が回転すると、誘導起電力が発生します。

この誘導起電力の大きさ、向き、例題について図を用いて説明しています。

回転導体棒の誘導起電力

回転導体棒の誘導起電力

磁束密度\(B{\mathrm{[T]}}\)の鉛直上向きの磁界中を、長さ\(r{\mathrm{[m]}}\)の導体棒abが点aを中心として、角速度\({\omega}{\mathrm{[rad/s]}}\)で回転すると、次式で表される誘導起電力\(e{\mathrm{[V]}}\)が発生します。

誘導起電力の大きさ

\begin{eqnarray}
e=\frac{1}{2}{\omega}Br^2{\mathrm{[V]}}\tag{1}
\end{eqnarray}

これから上式の誘導起電力について『大きさの導出方法』と『向きの決め方』について説明します。

大きさの導出方法

【回転導体棒の誘導起電力】大きさの導出

上図は磁束密度\(B{\mathrm{[T]}}\)の鉛直上向きの磁界中を、長さ\(r{\mathrm{[m]}}\)の導体棒abが点aを中心として、角速度\({\omega}{\mathrm{[rad/s]}}\)で回転している様子を表しています。

角速度\({\omega}{\mathrm{[rad/s]}}\)で回転しているということは、\({\Delta}t\)秒後には\({\omega}{\Delta}t{\mathrm{[rad]}}\)だけ回転しているということになります。

導体棒の長さは\(r{\mathrm{[m]}}\)なので、\({\Delta}t\)秒間回転することによって変化した面積\({\Delta}S{\mathrm{[m^2]}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\Delta}S=(円の面積)×(回転の割合)={\pi}r^2×\frac{{\omega}{\Delta}t}{2{\pi}}=\frac{1}{2}r^2{\omega}{\Delta}t\tag{2}
\end{eqnarray}

この変化した面積\({\Delta}S{\mathrm{[m^2]}}\)を1回巻きのコイル(\(N=1\))と見なすことがポイントとなります。

磁束密度\(B{\mathrm{[T]}}\)は変化しませんが、導体棒が磁界中を回転することで、面積\(S{\mathrm{[m^2]}}\)が変わるため、磁束鎖交数\({\psi}{\mathrm{[wb]}}\)が変化します。

『\({\Delta}t\)秒間での磁束鎖交数\({\psi}{\mathrm{[wb]}}\)の変化量\({\Delta}{\psi}{\mathrm{[wb]}}\)』は、『上図の変化した面積\({\Delta}S{\mathrm{[m^2]}}\)を通る磁束鎖交数\({\psi}{\mathrm{[wb]}}\)』と等しいため、次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\Delta}{\psi}=N{\Delta}{\phi}=N×B{\Delta}S=1×B\frac{1}{2}r^2{\omega}{\Delta}t=\frac{1}{2}{\omega}Br^2{\Delta}t{\mathrm{[wb]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

なお、(3)式の\({\phi}\)は磁束を表しています。磁束\({\phi}{\mathrm{[wb]}}\)と磁束鎖交数\({\psi}{\mathrm{[wb]}}\)には『\({\psi}=N{\phi}\)』の関係があります。

したがって、ファラデーの法則を用いると、導体棒に発生する誘導起電力\(e{\mathrm{[V]}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
e=\left|-\frac{{\Delta}{\psi}}{{\Delta}t}\right|=\left|-\frac{\displaystyle\frac{1}{2}{\omega}Br^2{\Delta}t}{{\Delta}t}\right|=\frac{1}{2}{\omega}Br^2{\mathrm{[V]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

つまり、磁束密度\(B{\mathrm{[T]}}\)の鉛直上向きの磁界中を、長さ\(r{\mathrm{[m]}}\)の導体棒abが点aを中心として、角速度\({\omega}{\mathrm{[rad/s]}}\)で回転している場合に発生する誘導起電力は『\(e=\displaystyle\frac{1}{2}{\omega}Br^2{\mathrm{[V]}}\)』になります。

上式で求めた『\(e=\displaystyle\frac{1}{2}{\omega}Br^2{\mathrm{[V]}}\)』は、教科書やネットでは公式のように扱われていることが多いので、暗記することをオススメします。

ファラデーの法則とは

ファラデーの法則とは、「電磁誘導によって生じる誘導起電力の大きさは、その回路を貫く磁束の変化の速度に比例する」ことを表した法則です。詳しくは以下の記事に説明していますので、参考にしてください。

【ファラデーの法則とは?】『公式』や『積分形』や『微分形』などを詳しく解説!
【ファラデーの法則とは?】『公式』や『積分形』や『微分形』などを詳しく解説!

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導体棒の回転によって変化した面積ΔSの別の導出方法

扇形の面積の公式を用いても面積\({\Delta}S{\mathrm{[m^2]}}\)を求めることができます。

扇形の面積は以下の公式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
扇形の面積=\frac{1}{2}×(半径)×(弧の長さ)\tag{5}
\end{eqnarray}

今回は、半径が\(r{\mathrm{[m]}}\)であり、弧の長さが\(r{\omega}{\Delta}t{\mathrm{[m]}}\)となるため、\({\Delta}t\)秒間回転することによって変化した面積\({\Delta}S{\mathrm{[m^2]}}\)は次式となり、(2)式と等しくなっていることが分かります。

\begin{eqnarray}
{\Delta}S=\frac{1}{2}×(半径)×(弧の長さ)=\frac{1}{2}×r×r{\omega}{\Delta}t=\frac{1}{2}r^2{\omega}{\Delta}t\tag{6}
\end{eqnarray}

回転導体棒の誘導起電力の導出方法

磁束密度\(B{\mathrm{[T]}}\)の磁界中を、長さ\(l{\mathrm{[m]}}\)の導体棒が速度\(v{\mathrm{[m/s]}}\)で磁界の方向に対して垂直に動くと、次式で表される誘導起電力\(e{\mathrm{[V]}}\)が発生します。

\begin{eqnarray}
e=vBl{\mathrm{[V]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

上式を用いても、回転導体棒の誘導起電力を求めることができます。上式において、速度\(v{\mathrm{[m/s]}}\)と長さ\(l{\mathrm{[m]}}\)を以下に示すように置き換えます。

\begin{eqnarray}
v&=&\frac{1}{2}{\omega}r\\
l&=&r
\end{eqnarray}

すると、回転導体棒の誘導起電力は次式で表され、(1)式と等しくなっていることが分かります。

\begin{eqnarray}
e=vBl=\frac{1}{2}{\omega}r×B×r=\frac{1}{2}{\omega}Br^2{\mathrm{[V]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

向きの決め方

誘導起電力の向きは『フレミングの右手の法則』によって求めることができます。

フレミングの右手の法則

【回転導体棒の誘導起電力】フレミングの右手の法則

まず、上図に示すように、右手の親指、人差し指、中指直角になるようにします。

各指は以下の方向を表しています。

フレミングの右手の法則

    親指:導体棒が磁力線を横切る方向
    人差し指:磁力線の方向(磁束密度の方向)
    中指:導体が移動することによって発生する誘導起電力の方向

今回は、導体棒が磁力線を横切る方向磁束密度の方向が分かっているため、誘導起電力の向きを求めます。

導体の移動方向を親指に、磁束密度の方向を中指にすると、誘導起電力の向きはa点からb点の方向になります。

導体棒の誘導起電力に関する例題

例題1

下図に示すように、磁束密度\(B=0.2{\mathrm{[T]}}\)の鉛直上向きの磁界中を、半径\(r=0.1{\mathrm{[m]}}\)の導体円盤が角速度\({\omega}=200{\pi}{\mathrm{[rad/s]}}\)で回転しています。導体円盤の中心と円周上の点に\(R=5{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の抵抗を接触させた時、抵抗に流れる電流\(I{\mathrm{[A]}}\)を求めてみましょう。

【回転導体棒の誘導起電力】例題

解答

抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の両端に発生する誘導起電力\(e{\mathrm{[V]}}\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
e=\frac{1}{2}{\omega}Br^2=\frac{1}{2}×200{\pi}×0.2×0.1^2{\;}{\approx}{\;}0.628{\mathrm{[V]}}\tag{1-1}
\end{eqnarray}

なお、誘導起電力の向きは『フレミングの右手の法則』を用いると、導体円盤の中心から円周に向かう向きとなります。

従って、抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I{\mathrm{[A]}}\)はオームの法則より以下の値となります。

\begin{eqnarray}
I=\frac{e}{R}{\approx}\frac{0.628}{5}{\;}{\approx}{\;}0.126{\mathrm{[A]}}\tag{1-2}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では回転導体棒の誘導起電力について、以下の内容を説明しました。

当記事のまとめ

  • 導体棒が回転する時に発生する誘導起電力の『大きさ』と『向き』

お読み頂きありがとうございました。

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