この記事では『コンデンサに蓄えられるエネルギー』について
- 『コンデンサに蓄えられるエネルギー』の式と求め方
- 『コイルに蓄えられるエネルギー』との関係
などを図を用いて分かりやすく説明しています。
コンデンサに蓄えられるエネルギー
静電容量(キャパシタンス)がC[F]のコンデンサにV[V]の電圧がかかっている時、コンデンサに蓄えられるエネルギーU[J]は次式で表されます。
コンデンサに蓄えられるエネルギー
\begin{eqnarray}
U=\frac{1}{2}CV^2{\mathrm{[J]}}
\end{eqnarray}
U[J]：コンデンサに蓄えられるエネルギー
C[F]：コンデンサの静電容量
V[V]：コンデンサにかかっている電圧
単位は[J](ジュール)となります。次に上式の求め方について説明します。
補足
- コンデンサに蓄えられるエネルギーの記号には「U」ではなく下記式のように「W」を用いる場合もあります。
\begin{eqnarray}
W=\frac{1}{2}CV^2{\mathrm{[J]}}
\end{eqnarray}
コンデンサに蓄えられるエネルギーの求め方
導出を簡単にするために、以下のようにコンデンサにかかる電圧vが変化した場合を考えます。
- t=0[s]の時：v=0[V]
- t=T[s]の時：v=V[V]
静電容量C[F]のコンデンサに電圧v[V]がかかっている時、dt秒間においてコンデンサにかかる電圧v[V]がdV[V]だけ変化すると、コンデンサに流れる電流i[A]は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
i=C\frac{dv}{dt}{\mathrm{[V]}}
\end{eqnarray}
したがって、コンデンサに生じる瞬時電力p[W]は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
p=vi=v×C\frac{dv}{dt}=Cv\frac{dv}{dt}
\end{eqnarray}
電力に時間を掛けるとエネルギーとなります。そのため、コンデンサがdt秒間に(コンデンサにかかる電圧がdv[V]変化した時に)蓄えられるエネルギーdU[J]は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
dU=p×dt=Cv\frac{dv}{dt}×dt=Cv{\;}dv
\end{eqnarray}
上式はグラフでいうと青色の部分の面積となります。したがって、コンデンサにかかる電圧vが0[V]からV[V]まで増加した時、コンデンサに蓄えられるエネルギーU[J}は次式となります。
\begin{eqnarray}
U={\displaystyle\int}_0^V dU={\displaystyle\int}_0^V Cv{\;}dv=C{\displaystyle\int}_0^V v{\;}dv=C\left[\frac{1}{2}v^2\right]_0^V=\frac{1}{2}CV^2{\mathrm{[J]}}
\end{eqnarray}
上式はグラフでいると、三角形の面積となります。このようにしてコンデンサに蓄えられるエネルギーを求めます。
『コンデンサに蓄えられるエネルギー』と『コイルに蓄えられるエネルギー』の関係
『コンデンサに蓄えられるエネルギーUC』と『コイルに蓄えられるエネルギーUL』の式は似ています。下記に各エネルギーの式を示します。
\begin{eqnarray}
U_C&=&\frac{1}{2}CV^2{\mathrm{[J]}}\\
U_L&=&\frac{1}{2}LI^2{\mathrm{[J]}}
\end{eqnarray}
コンデンサは電圧がかかることでエネルギーが蓄えられるので、式に電圧のVが付いています。一方、コイルは電流が流れることでエネルギーが蓄えられるので、式に電流のIが付いています。
また『コンデンサの性質を決める静電容量C』と『コイルの性質を決める自己インダクタンスL』がそれぞれの式に付いています。
このように式を並べると似ていることが分かります。なお、コンデンサに蓄えられるエネルギーには「静電エネルギー」という名前が付けられていますが、コイルに蓄えられるエネルギーには特に名前が付けられていません。
まとめ
この記事では『コンデンサに蓄えられるエネルギー』について、以下の内容を説明しました。
- 『コンデンサに蓄えられるエネルギー』の式と求め方
- 『コイルに蓄えられるエネルギー』との関係
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