【アンペールの法則とは?】積分形と微分形の式と導出方法について!

スポンサーリンク


この記事では『アンペールの法則』について

  • 『アンペールの法則』とは
  • 『アンペールの法則』の基本形・積分形・微分形の式と導出方法

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

アンペールの法則とは

アンペールの法則とは、電流とその周囲にできる磁界(磁場)との関係を表す法則です。英語ではAmpère's circuital lawと書きます。アンペールの法則は1820年にフランスの物理学者アンドレ=マリー・アンペールによって発見されました。

ではこれからこのアンペールの法則の基本形微分形積分形を順番に説明していきます。

磁石が磁界(磁場)を作るのはイメージが湧くと思いますが、電流も磁界(磁場)を作ることができるのです。

アンペールの法則の基本形

アンペールの法則の基本形
無限に長い直流導体に\(I\,\mathrm{[A]}\)の電流を流すと、直流導体の周囲には磁界(磁場)が発生します。

磁界の強さ\(H\,\mathrm{[N/Wb]}\)は直流導体から距離\(r\,\mathrm{[m]}\)離れた位置では以下の式で表すことが出来ます。

アンペールの法則の基本形

\begin{eqnarray}
H=\frac{I}{2{\pi}r}
\end{eqnarray}

上式より、磁界の強さ\(H\)は、電流\(I\)に比例し距離\(r\)に反比例することが分かります。すなわち、電流\(I\)が大きく、距離\(r\)が近いほど、磁界\(H\)は強くなるということになります。また、この磁界の強さ\(H\)は、直流導線を中心とした同心円状では等しくなるのが特徴です。

磁界の向きは右手を用いることで分かります。右手の親指を立てて手を握り、電流\(I\)の流れる方向を右手の親指にします。この時、残りの指の向きが磁界\(H\)の向きとなります。このことから、アンペールの法則は、右ねじの法則右手の法則などと呼ばれることがあります。

補足

上式はビオ・サバールの法則を積分することで求めることができます(詳しくは専門書等をご覧ください)。

アンペールの法則の積分形

アンペールの法則の積分形
アンペールの法則の基本形では直流導体に電流\(I\,\mathrm{[A]}\)流れた時において、距離\(r\,\mathrm{[m]}\)離れた場所で発生する磁界(磁場)を考えました。

ここで、アンペールの法則の積分形では少し考え方を変えます。

磁界(磁場)側から考えると、「面の境界\({\partial}S\)において、磁界(磁場)の接線\({\boldsymbol{H}}\)を足し合わせる(積分する)と、足し合わせた結果は、面\(S\)を貫く電流\({\boldsymbol{j}}\)の和に比例する」となります。これを式で表したものがアンペールの法則の積分形であり、以下の式で表されます。

アンペールの法則の積分形

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{{\partial}S}{\boldsymbol{H}}d{\boldsymbol{l}}=\displaystyle\int_{S}{\boldsymbol{j}}d{\boldsymbol{S}}
\end{eqnarray}

ここで、\(H\)は磁界の強さ、\({\boldsymbol{j}}\)は電流密度、\(d{\boldsymbol{l}}\)は線素ベクトル、\(d{\boldsymbol{S}}\)は面素ベクトル、\({{\partial}S}\)は面\(S\)の境界となります。

補足

上記のアンペールの法則の積分形を磁束密度\(B\)で表すと以下の式となります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{{\partial}S}{\boldsymbol{B}}d{\boldsymbol{l}}={\mu}\displaystyle\int_{S}{\boldsymbol{j}}d{\boldsymbol{S}}
\end{eqnarray}

アンペールの法則の積分形から基本形に変形する方法

アンペールの積分形の左辺を変形すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{{\partial}S}{\boldsymbol{H}}d{\boldsymbol{l}}=H\displaystyle\int_{{\partial}S}d{\boldsymbol{l}}=2{\pi}rH
\end{eqnarray}
となります。一方右辺を変形すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{S}{\boldsymbol{j}}d{\boldsymbol{S}}=I
\end{eqnarray}
となります。\(I\)は面Sを貫く全電流を示しています。これらの結果から
\begin{eqnarray}
2{\pi}rH=I\\
{\Leftrightarrow}H=\frac{I}{2{\pi}r}
\end{eqnarray}
となり、最初に説明したアンペールの法則の基本形の式が導出されます。

アンペールの法則の微分形

アンペールの法則の微分形
アンペールの法則の微分形は以下の式で表されます。

アンペールの法則の微分形

\begin{eqnarray}
rot{\boldsymbol{H}}={\boldsymbol{j}}
\end{eqnarray}

上式は電流密度\({\boldsymbol{j}}\)が流れた時、その電流の周りに磁界\(rot{\boldsymbol{H}}\)が発生することを示しています。

補足

\(rot\)はrotation(ローテーション)の略であり、「回転」の意味となります。この\(rot\)は微分演算子\({\nabla}\)(ナブラ)を用いて、
\begin{eqnarray}
{\nabla}×{\boldsymbol{H}}={\boldsymbol{j}}
\end{eqnarray}
と書くこともできます。

アンペールの法則の積分形から微分形に変形する方法

アンペールの法則の積分形にストークスの定理を用いると、微分形を導出することができます。

ストークスの定理とは、「回転\(rot{\boldsymbol{A}}\)を面\(S\)で面積分したものは、接線\({\boldsymbol{A}}\)を面の境界\({{\partial}S}\)で線積分したものと等しくなる」というもので以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{S}{rot{\boldsymbol{A}}}d{\boldsymbol{S}}=\displaystyle\int_{{\partial}S}{\boldsymbol{A}}d{\boldsymbol{l}}
\end{eqnarray}

これを、アンペールの法則の積分形に当てはめてみましょう。

アンペールの法則の積分形の左辺にストークスの定理を当てはめると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{{\partial}S}{\boldsymbol{H}}d{\boldsymbol{l}}=\displaystyle\int_{S}{rot{\boldsymbol{H}}}d{\boldsymbol{S}}
\end{eqnarray}

したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{S}{rot{\boldsymbol{H}}}d{\boldsymbol{S}}=\displaystyle\int_{S}{\boldsymbol{j}}d{\boldsymbol{S}}
\end{eqnarray}

となります。ここから面積分を取ると、
\begin{eqnarray}
rot{\boldsymbol{H}}={\boldsymbol{j}}
\end{eqnarray}
となり、アンペールの法則の微分形を導出することができます。

まとめ

この記事では『アンペールの法則』について、以下の内容を説明しました。

当記事のまとめ

  • アンペールの法則とは?
  • アンペールの法則の基本形とは
  • アンペールの法則の積分形
  • アンペールの法則の微分形

お読み頂きありがとうございました。

当サイトでは電気に関する様々な情報を記載しています。当サイトの全記事一覧には以下のボタンから移動することができます。

全記事一覧

スポンサーリンク