ランプ関数のラプラス変換

この記事では『ランプ関数\(f(t)=t{\;}(t{≥}0)\)』について

「ランプ関数\(f(t)=t{\;}(t{≥}0)\)」のラプラス変換の式と導出方法

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

「ランプ関数」のラプラス変換

ランプ関数は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
f(t)=
\begin{cases}
0&(t{<}0)\\
t&(t{≥}0)
\end{cases}
\tag{1}
\end{eqnarray}

「ランプ関数\(f(t){\;}(t{≥}0)\)」をラプラス変換すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\mathcal{L}\left[f(t)\right]=\frac{1}{s^2}\tag{2}
\end{eqnarray}

上式の記号\(\displaystyle\mathcal{L}\)はラプラス変換を表す記号です。\(\displaystyle\mathcal{L}\left[f(t)\right]\)と書くと、「\(f(t)\)をラプラス変換する」ということになります。なお、\(\displaystyle\mathcal{L}\)はラプラス(Laplace)の頭文字を筆記体で書いたものです。

(2)式は覚えた方が便利ですが、忘れても、下記の「ラプラス変換の定義式」を用いると、(2)式を導出することができます。

ラプラス変換の定義式

ラプラス変換\(F(s)\)の定義式は次式となっています。

\begin{eqnarray}
F(s)=\displaystyle\mathcal{L}\left[f(t)\right]={\displaystyle\int}_0^{\infty}f(t){\;}{\cdot}{\;}e^{-st}dt\tag{3}
\end{eqnarray}

(3)式は時間\(t\)の関数\(f(t)\)に\(e^{-st}\)を掛けたものを\(t=0\)から\({\infty}\)まで積分すると、\(s\)の関数\(F(s)\)にラプラス変換できるということを示しています。

ラプラス変換の定義式については下記の記事で詳しく説明しています。興味のある方は下記のリンクからぜひチェックをしてみてください。

: ラプラス変換の「定義式」と「公式の導出方法」
続きを見る

では実際に、(3)式のラプラス変換の定義式を用いて、「ランプ関数\(f(t){\;}(t{≥}0)\)」をラプラス変換してみましょう。

ラプラス変換の定義式((3)式)の\(f(t)\)に\(t\)を代入すると、次式のようになります。

\begin{eqnarray}
F(s)=\displaystyle\mathcal{L}\left[f(t)\right]&=&{\displaystyle\int}_0^{\infty}f(t){\;}{\cdot}{\;}e^{-st}dt\\
\\
&=&{\displaystyle\int}_0^{\infty}t{\;}{\cdot}{\;}e^{-st}dt\\
\\
&=&{\displaystyle\int}_0^{\infty}t{\;}{\cdot}{\;}\left(\frac{1}{-s}e^{-st}\right)'dt\tag{4}
\end{eqnarray}

ここで、部分積分の公式を用いると、次式となり、「ランプ関数\(f(t){\;}(t{≥}0)\)」のラプラス変換\(F(s)\)を導出することができます。

\begin{eqnarray}
F(s)=\displaystyle\mathcal{L}\left[f(t)\right]&=&{\displaystyle\int}_0^{\infty}t{\;}{\cdot}{\;}\left(\frac{1}{-s}e^{-st}\right)'dt\\
\\
&=&\left[t{\;}{\cdot}{\;}\left(\frac{1}{-s}e^{-st}\right)\right]_0^{\infty}-{\displaystyle\int}_0^{\infty}(t)'{\;}{\cdot}{\;}\left(\frac{1}{-s}e^{-st}\right)dt\\
\\
&=&0+\frac{1}{s}{\displaystyle\int}_0^{\infty}e^{-st}dt\\
\\
&=&-\frac{1}{s^2}\left[e^{-st}\right]_0^{\infty}\\
\\
&=&-\frac{1}{s^2}\left(e^{-s{\;}{\cdot}{\;}{\infty}}-e^{-s{\;}{\cdot}{\;}0}\right)\\
\\
&=&-\frac{1}{s^2}\left(0-1\right)\\
\\
&=&\frac{1}{s^2}\tag{5}
\end{eqnarray}