抵抗Rのみ接続した場合の『位相』と『ベクトル図』を解説！【交流回路】

この記事では抵抗Rのみ接続した交流回路において

抵抗Rのみ接続した交流回路の『位相』について
抵抗Rのみ接続した交流回路の『ベクトル図』の描き方

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

抵抗Rのみ接続した交流回路の『位相』

交流電圧\(v\)に抵抗\(R\)のみ接続した回路を上図に示しています。

抵抗\(R\)に交流電圧\(v\)を印加した時、抵抗\(R\)に\(i=I_M{\sin}{\omega}t\)の交流電流が流れたとします。

この時、交流電流\(i\)が抵抗\(R\)に流れているので、オームの法則より、抵抗\(R\)にかかる電圧\(v_R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
v_R=i×R=I_MR{\sin}{\omega}t
\end{eqnarray}

ここで、抵抗\(R\)にかかる電圧\(v_R\)は交流電圧\(v\)と等しいので、交流電圧\(v\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
v=v_R=I_MR{\sin}{\omega}t
\end{eqnarray}

ここで、回路に流れる交流電流\(i\)、交流電圧\(v\)、抵抗\(R\)にかかる電圧\(v_R\)をまとめると以下のようになります。

\begin{eqnarray}
i&=&I_M{\sin}{\omega}t\\
v&=&I_MR{\sin}{\omega}t\\
v_R&=&I_MR{\sin}{\omega}t
\end{eqnarray}

\({\omega}t\)がゼロの時、交流電流\(i\)も抵抗\(R\)にかかる電圧\(v_R\)もゼロとなります。\({\omega}t\)がゼロから増加すると、交流電流\(i\)も抵抗\(R\)にかかる電圧\(v_R\)も増加します。すなわち、『交流電流\(i\)』と『抵抗\(R\)にかかる電圧\(v_R\)』の位相は同位相となります。

同位相とは

2つの波形(例えば、交流電流\(i\)と抵抗\(R\)にかかる電圧\(v_R\))の位相差が\(0{\mathrm{[rad]}}\)であることを「同位相」または「同相」といいます。

抵抗Rのみ接続した交流回路の『ベクトル図』

まず、交流電圧\(v\)にインピーダンス\(Z\)を接続した交流回路を考えます。

交流電圧\(v\)のベクトルを\({\dot{V}}\)、インピーダンス\(Z\)のベクトルを\({\dot{Z}}\)、流れる交流電流\(i\)のベクトルを\({\dot{I}}\)とします。この時、交流電圧\({\dot{V}}\)、インピーダンス\({\dot{Z}}\)、交流電流\({\dot{I}}\)は次式の関係があります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{I}}}\\
\\
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}
\end{eqnarray}

今回は、抵抗\(R\)のみ接続した交流回路を考えます。この時、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=R
\end{eqnarray}

したがって、交流電圧\({\dot{V}}\)と交流電流\({\dot{I}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}=R{\dot{I}}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}=\frac{{\dot{V}}}{R}
\end{eqnarray}

また、抵抗\(R\)にかかる電圧\(v_R\)のベクトルを\({\dot{V_R}}\)とします。抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)は交流電圧\({\dot{V}}\)と等しいため、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_R}}={\dot{V}}=R{\dot{I}}
\end{eqnarray}

また、交流電圧\({\dot{V}}\)の大きさ\(V\)、交流電流\({\dot{I}}\)の大きさ\(I\)、抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)の大きさ\(V_R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V&=&|{\dot{V}}|=RI\\
\\
I&=&|{\dot{I}}|=\frac{V}{R}\\
\\
V_R&=&|{\dot{V_R}}|=RI
\end{eqnarray}

ここで、各ベクトルの式と大きさが求まったので、次にベクトル図を描いてみましょう。

『ベクトル図』の描き方

まず、基準とするベクトルを交流電流\({\dot{I}}\)とします。

この時、『抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)』と『交流電圧\({\dot{V}}\)』のベクトルは以下のように描きます。

抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)のベクトル

抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)は「\({\dot{V_R}}=R{\dot{I}}\)」で表されます。そのため、抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)のベクトルの向きは交流電流\({\dot{I}}\)の向きと同じになります。抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)の大きさは交流電流\({\dot{I}}\)を\(R\)倍したものとなります。

交流電圧\({\dot{V}}\)のベクトル

交流電圧\({\dot{V}}\)は「\({\dot{V}}={\dot{V_R}}\)」で表されます。そのため、交流電圧\({\dot{V}}\)は抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)と向きと大きさが同じになります。

したがって、『抵抗\(R\)のみ接続している交流回路』のベクトル図は上図のようになります。交流電流\({\dot{I}}\)、交流電圧\({\dot{V}}\)、抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)の3つのベクトルは全て同じ向きになります。交流電流\(i\)と抵抗\(R\)にかかる電圧\(v_R\)の位相差が\(0{\mathrm{[rad]}}\)、つまり同位相となります。

各ベクトルの長さ(大きさ)は、先ほど計算で求めた

\begin{eqnarray}
V&=&|{\dot{V}}|=RI\\
\\
I&=&|{\dot{I}}|=\frac{V}{R}\\
\\
V_R&=&|{\dot{V_R}}|=RI
\end{eqnarray}

となります。

まとめ

この記事では抵抗Rのみ接続した交流回路について、以下の内容を説明しました。