【平行往復導線の自己インダクタンス】『公式』と『導出方法』について！

この記事では平行往復導線の自己インダクタンスについて

『平行往復導線』の自己インダクタンスの公式
『平行往復導線』の自己インダクタンスの導出方法

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

『平行往復導線』の自己インダクタンス

半径\(r{\mathrm{[m]}}\)の非常に長い2本の直流導体が中心間距離\(D{\mathrm{[m]}}\)離れて置かれており、往復導線となっている場合、導線の単位長さあたりの自己インダクタンス\(L{\mathrm{[H/m]}}\)は次式となります。

『平行往復導線』の自己インダクタンス

\begin{eqnarray}
L=\frac{{\mu}_0}{{\pi}}{\ln}\frac{D}{r}{\mathrm{[H/m]}}
\end{eqnarray}

この記事では上式の導出方法について説明します。

『平行往復導線』の自己インダクタンスの導出方法

自己インダクタンス\(L\)は以下の流れによって導出することができます。

自己インダクタンスの導出の流れ

磁界の強さ\(H\)を求める
磁束密度\(B\)を求める
磁束\({\phi}\)を求める
磁束鎖交数\({\psi}\)を求める
自己インダクタンス\(L\)を求める

step
1磁界の強さ\(H\)を求める

往復導線の単位長さあたりの自己インダクタンス\(L\)は『単位長さあたりの両導線間の面積を通る磁束鎖交数\({\psi}\)』を計算することによって求めることができます。

磁束鎖交数\({\psi}\)を求めるためには、『磁界の強さ\(H\)→磁束密度\(B\)→磁束\({\phi}\)』を求める必要があるので、順番に導出していきます。

上図において、上側の導線をA導線、下側の導線をB導線とすると、A導線の中心から距離\(x{\mathrm{[m]}}\)離れた点に生じる磁界の強さ\(H\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
H=\frac{I}{2{\pi}x}+\frac{I}{2{\pi}(D-x)}{\mathrm{[A/m]}}\tag{1}
\end{eqnarray}

(1)式において、第1項の\(\displaystyle\frac{I}{2{\pi}x}\)はA導線が作る磁界の強さ、第2項の\(\displaystyle\frac{I}{2{\pi}(D-x)}\)はB導線が作る磁界の強さとなります。

なお、磁界の向きはA導線とB導線を含む平面に垂直となります。

step
2磁束密度\(B\)を求める

磁界の強さ\(H\)と磁束密度\(B\)と真空の透磁率\({\mu}_0\)の関係は『\(B={\mu}_0H\)』なので、磁束密度\(B\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
B&=&{\mu}_0H\\
&=&{\mu}_0×\left(\frac{I}{2{\pi}x}+\frac{I}{2{\pi}(D-x)}\right)\\
&=&\frac{{\mu}_0I}{2{\pi}x}+\frac{{\mu}_0I}{2{\pi}(D-x)}{\mathrm{[T]}}\tag{2}
\end{eqnarray}

step
3磁束\({\phi}\)を求める

A導線から距離\(x{\mathrm{[m]}}\)離れた近傍において、幅\(dx{\mathrm{[m]}}\)、長さ\(1{\mathrm{[m]}}\)の微小面積\(dS\)を考えると、その微小面積\(dS\)を通る磁束\(d{\phi}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
d{\phi}&=&B×dS\\
&=&\left(\frac{{\mu}_0I}{2{\pi}x}+\frac{{\mu}_0I}{2{\pi}(D-x)}\right)×(1×dx)\\
&=&\frac{{\mu}_0I}{2{\pi}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{D-x}\right)dx\tag{3}
\end{eqnarray}

長さ\(1{\mathrm{[m]}}\)、両導線間の面積\(S\)を通る磁束\({\phi}\)は『\(x\)を\(r\)から\(D-r\)まで積分する』ことで求めることができ、次式となります。

\begin{eqnarray}
{\phi}&=&{\displaystyle\int}_r^{D-r}d{\phi}\\
&=&{\displaystyle\int}_r^{D-r}\frac{{\mu}_0I}{2{\pi}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{D-x}\right)dx\\
&=&\frac{{\mu}_0I}{2{\pi}}{\displaystyle\int}_r^{D-r}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{D-x}\right)dx\\
&=&\frac{{\mu}_0I}{2{\pi}}\left[{\ln}x-{\ln}(D-x)\right]_r^{D-r}\\
&=&\frac{{\mu}_0I}{{\pi}}{\ln}\frac{D-r}{r}{\mathrm{[wb]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

step
4磁束鎖交数\({\psi}\)を求める

磁束\({\phi}\)と磁束鎖交数\({\psi}\)の関係は『\({\psi}=N{\phi}\)』となります。今回、巻数\(N\)は\(1\)なので、磁束鎖交数\({\psi}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\psi}&=&N{\phi}\\
&=&1×{\phi}\\
&=&\frac{{\mu}_0I}{{\pi}}{\ln}\frac{D-r}{r}{\mathrm{[wb]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

磁束鎖交数Ψと磁束Φの記号について

磁束鎖交数と磁束の記号は参考書やネットによって様々であり、磁束鎖交数の記号を\({\phi}\)(ファイ)や\({\psi}\)(プサイ,プシー)で表している場合もあります。

このサイトでは、

磁束鎖交数の記号：\({\psi}\)(プサイ,プシー)
磁束の記号；\({\phi}\)(ファイ)

で表示しています。

step
5自己インダクタンス\(L\)を求める

磁束鎖交数\({\psi}\)と自己インダクタンス\(L\)の関係は『\({\psi}=LI\)』なので、単位長さあたりの自己インダクタンス\(L\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
L&=&\frac{{\psi}}{I}\\
&=&\frac{{\mu}_0}{{\pi}}{\ln}\frac{D-r}{r}\\
&=&4{\;}{\ln}\frac{D-r}{r}×10^{-7}{\mathrm{[H/m]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

したがって、長さ\(l{\mathrm{[m]}}\)の自己インダクタンス\(L_l\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
L_l&=&L×l\\
&=&\frac{{\mu}_0l}{{\pi}}{\ln}\frac{D-r}{r}\\
&=&4l{\;}{\ln}\frac{D-r}{r}×10^{-7}{\mathrm{[H]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

ここで、中心間距離\(D{\mathrm{[m]}}\)が2本の直流導体の半径\(r{\mathrm{[m]}}\)より非常に大きいとすると(\(D{≫}r\))、(6)式と(7)式は次式となります。