『電気抵抗』と『抵抗率』の式の導出方法について！

この記事では、電気抵抗Rと抵抗率ρの式の導出方法について説明します。

『電気抵抗R』と『抵抗率ρ』の式

電気抵抗は記号でR、抵抗率は記号でρ(ロー)と表されます。

この電気抵抗Rと抵抗率ρは、自由電子の単位体積(1m³)あたりの個数(数密度と呼ばれる)をn[個/m³]、自由電子の平均速度をv[m/s]、導体の断面積をS[m²]、導体の長さをL[m]とすると、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R&=&\frac{kL}{e^2nS}\\
{\rho}&=&\frac{k}{e^2n}
\end{eqnarray}

上式のkは比例定数となっています。また、上式のeは『負電荷の自由電子1個の電気量の絶対値または正電荷の陽子1個の電気量』であり、電子素量と呼ばれるものです。

負電荷の自由電子1個が持つ電気量：-e=-1.6×10^-19[C/個]
正電荷の陽子1個が持つ電気量：e=1.6×10^-19[C/個]

となります。

では次に、上式の導出方法を詳しく説明していきます。

『電気抵抗R』と『抵抗率ρ』の導出

上図に示すように、断面積S[m²]、長さL[m]の導体の両体に電圧V[V]を印加している状況を考えます。

この時、導体内には電場E[N/C]が発生しており、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
E=\frac{V}{L}{\mathrm{[N/C]}}\tag{1}
\end{eqnarray}

この電場E[N/C]によって、電気量の大きさがe[C]の自由電子は、力F[N]を左向きに受けます(自由電子はマイナスなので電場Eの方向と逆になります)。電場Eによって生じる力F[N]は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
F=eE=e\frac{V}{L}{\mathrm{[N]}}\tag{2}
\end{eqnarray}

上式は有名な『F=qE』の公式において、自由電子の電荷量の大きさがe[C]なので、『q=e』としているだけです。

電場Eによって生じる力F[N]を受けて自由電子は左向きに加速していきます。しかし、自由電子は導体内の陽イオンとの衝突による力(抵抗力)[N]を右向きに受けます。陽イオンとの衝突よる力[N]は自由電子の速度v[m/s]が速いほど大きくなります。すなわち、陽イオンとの衝突よる力[N]は自由電子の速度v[m/s]に比例します。そこで比例定数をkとすると、陽イオンとの衝突よる力[N]は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
F=kv{\mathrm{[N]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

電場Eによって生じる力F[N]と陽イオンとの衝突よる力[N]が等しくなることで、自由電子の速度v[m/s]は一定となります。この時、自由電子の速度vは次式で表されます。

\begin{eqnarray}
e\frac{V}{L}&=&kv\\
{\Leftrightarrow}v&=&\frac{eV}{kL}{\mathrm{[m/s]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

一方、電流の大きさI[A]は自由電子の単位体積(1m³)あたりの個数(数密度と呼ばれる)をn[個/m³]とすると、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
I=envS{\mathrm{[A]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

上式については以下の記事で詳しく説明してますので、参考にしてください。