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【昇圧コンバータの設計】インダクタ(コイル)のインダクタンス値の導出

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昇圧コンバータにおけるインダクタ(コイル)\(L\)の設計方法について説明します。

インダクタLのインダクタンス値の導出

【昇圧コンバータの設計】インダクタ(コイル)電流の波形
インダクタ\(L\)に流れる電流\(i_L\)の平均電流は入力電流\(I_{IN}\)と等しくなります。そのため、まず入力電流\(I_{IN}\)から求めます。入力電流\(I_{IN}\)は入力電圧\(V_{IN}\)、出力電流\(I_{OUT}\)、出力電圧\(V_{OUT}\)、効率\({\eta}\)から求めることができ、以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\eta}=\frac{P_{OUT}}{P_{IN}}=\frac{V_{OUT}I_{OUT}}{V_{IN}I_{IN}}\\
{\Leftrightarrow}I_{IN}=\frac{V_{OUT}I_{OUT}}{V_{IN}×{\eta}}\tag{1}
\end{eqnarray}

インダクタ\(L\)に流れる電流\(i_L\)のリプル率を\(k\)とすると、インダクタ電流のリプル\(di_L\)は以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
di_L=kI_{IN}=k\frac{V_{OUT}I_{OUT}}{V_{IN}×{\eta}}\tag{2}
\end{eqnarray}

ここで、インダクタ電流\(i_{L}\)とインダクタ電圧\(v_{L}\)の有名な関係式\(v_{L}=L\displaystyle\frac{di}{dt}\)を用いると、スイッチ\(S\)のオン期間\(T_{ON}\)において、インダクタ\(L\)には入力電圧\(V_{IN}\)がかかり、インダクタ電流\(i_L\)は\(di_L\)増加するので、以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
V_{IN}&=&L\frac{di_{L}}{T_{ON}}\\
{\Leftrightarrow}L&=&\frac{V_{IN}}{ di_{L}}{T_{ON}}\tag{3}
\end{eqnarray}

スイッチ\(S\)のオン期間\(T_{ON}\)は周期\(T\)、オンデューティ比\(D\)、スイッチング周波数\(f_{SW}\)、入力電圧\(V_{IN}\)、出力電圧\(V_{OUT}\)を用いると以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
T_{ON}=DT=\frac{D}{f_{SW}}=\frac{1}{f_{SW}}×\frac{ V_{OUT}- V_{IN}}{V_{OUT}}\tag{4}
\end{eqnarray}

(2)式、(3)式、(4)式を用いると、インダクタのインダクタンス\(L\)は以下の式で表されます。

\begin{eqnarray}
L&=&\frac{{V_{IN}}×(V_{OUT}- V_{IN})}{{di_{L}}×{f_{SW}}×{V_{OUT}}}\\
&=&\frac{{V_{IN}}^2×(V_{OUT}-V_{IN})×{\eta}}{{V_{OUT}}^2×{I_{OUT}}×k×{f_{SW}}}
\end{eqnarray}

上式より、インダクタンス\(L\)を大きくすれば、リプル\(di_L\)が小さくなりことが分かります。しかし、インダクタンス\(L\)を大きくすると、インダクタのサイズが大きくなります。リプル\(di_L\)とサイズはトレードオフの関係となります。

補足

  • 一般的にリプル率\(k\)は20%〜40%で設計を行います。
  • 実験ではインダクタ電流\(i_L\)がリニアに変化しているかを確認します。リニアに変化していない場合には、インダクタが飽和している可能性があります。

インダクタ電流のピーク値の導出

インダクタ\(L\)に流れる電流\(i_L\)のピーク値\(I_{L(MAX)}\)も導出します。インダクタ電流\(i_L\)は平均電流(入力電流\(I_{IN}\)と等しい)に対してリプル\(di_L\)が重ね合った波形となります。そのため、インダクタ\(L\)に流れる電流\(i_L\)のピーク値\(I_{L(MAX)}\)は以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
I_{L(MAX)}&=&I_{IN}+\frac{di_{L}}{2}\\
&=&I_{IN}+\frac{1}{2}kI_{IN}\\
&=&I_{IN}+\frac{1}{2}k\frac{V_{OUT}I_{OUT}}{V_{IN}×{\eta}}
\end{eqnarray}

補足

  • インダクタのインダクタンスにはバラツキがあり、±20%程度ばらつく可能性があります。そのため、上式で計算したインダクタ電流\(i_L\)のピーク値\(I_{L(MAX)}\)より大きくなる可能性があります。
  • インダクタ電流\(i_L\)はスイッチに流れる電流とダイオードに流れる電流に分流されます。そのため、インダクタ電流\(i_L\)のピークをスイッチの定格電流、ダイオードの定格電流に対して十分余裕を持たせるように、インダクタ\(L\)は計算で求めた設計値より多少大きく設計することをオススメします。
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