その他

【ビオ・サバールの法則とは】『直流電流』や『円電流』の磁界の強さの導出など!

スポンサーリンク


この記事ではビオ・サバールの法則について

  • ビオ・サバールの法則とは
  • ビオ・サバールの法則の『積分』
  • 直流電流が作る磁界の強さHの導出
  • 円電流が作る磁界の強さHの導出

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

以下の目次から各項目に飛べるようになっています。

ビオ・サバールの法則とは

ビオ・サバールの法則とは

ビオ・サバールの法則とは、電流\(I\)が流れている導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)を表した法則です。

上図に示すように、電流\(I{\mathrm{[A]}}\)が流れてる導体において、

  • 導体の微小部分を\(dl{\mathrm{[m]}}\)
  • 導体の微小部分\(dl\)の接線\(Q\)と点\(P\)との角度を\({\theta}\)
  • 導体の微小部分\(dl\)と点\(P\)との距離を\(R{\mathrm{[m]}}\)

とすると、導体の微小部分\(dl\)が点\(P\)に作る磁界の強さ\(dH{\mathrm{[A/m]}}\)は次式となります。

ビオ・サバールの法則の公式

\begin{eqnarray}
dH=\frac{1}{4{\pi}}{\cdot}\frac{Idl{\sin}{\theta}}{R^2}{\mathrm{[A/m]}}\tag{1}
\end{eqnarray}

この上式がビオ・サバールの法則の公式となります。

(1)式より、導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)は、電流の大きさ\(I\)、微小部分\(dl\)、\({\sin}{\theta}\)に比例することが分かります。また、クーロンの法則と同様に距離\(R\)の2乗に反比例することが分かります。なお、係数\(\displaystyle\frac{1}{4{\pi}}\)は実験結果から得られた係数となります。

また、導体の微小部分\(dl\)に流れる電流(電流素片\(Idl\))が作る磁界の強さ\(dH\)は『距離\(R\)&磁界の強さ\(dH\)&電流素片\(Idl\)』が直角になるようにします。すなわち、『電流素片\(Idl\)の\({\sin}{\theta}\)成分(\(Idl{\sin}{\theta}\))』を考慮する必要があるため、(1)式に\({\sin}{\theta}\)が入っています。

なお、磁界の向きは右ネジの法則で求めます。上図の場合だと、磁界の向きは画面の表から裏の方向となります。

補足

1820年にフランスの物理学者『ジャン=バティスト・ビオ』と『フェリックス・サバール』によって発見されたため『ビオ・サバールの法則』と呼ばれています。

ビオ・サバールの法則の積分

ビオ・サバールの法則の『積分』

(1)式で表されるのは、『導体の微小部分\(dl\)が点\(P\)に作る磁界の強さ\(dH\)』であり、『導体全体が点\(P\)に作る磁界の強さ\(H\)』ではありません。

『導体全体が点\(P\)に作る磁界の強さ\(H\)』を求めるためには、『導体の微小部分\(dl\)が点\(P\)に作る磁界の強さ\(dH\)』を足し合わせる必要があります。つまり積分することで求めることができます。

(1)式を積分すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
H={\displaystyle\int}dH={\displaystyle\int}\frac{I{\sin}{\theta}}{4{\pi}R^2}dl{\mathrm{[A/m]}}\tag{2}
\end{eqnarray}

上式には積分範囲を記載していません。積分範囲は導体の形(無限長の直流導体円形コイル)によって変わるためです。

積分範囲を(2)式で考慮することによって、『無限長の直流導体に流れる直流電流が作る磁界の強さ\(H=\displaystyle\frac{I}{2{\pi}r}\)』や『円形コイルに流れる円電流が作る磁界の強さ\(H=\displaystyle\frac{I}{2r}\)』を求めることができるので、次にそれを説明します。

直流電流が作る磁界の強さH

【ビオ・サバールの法則】直流電流が作る磁界の強さ

ビオ・サバールの法則を用いて、『無限長の直流導体に流れる直流電流が点\(P\)に作る磁界の強さ\(H\)』を求めるためには、以下の3ステップで求めます。

磁界の強さHを求める3ステップ

  1. 導体の微小部分\(dl\)から点\(P\)に対して直線を引く。
  2. 導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)を求める。
  3. 『導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)』を積分して『導体全体が作る磁界の強さ\(H\)』を求める。

step
1
導体の微小部分\(dl\)から点\(P\)に対して直線を引く

無限長の直流導体において、導体の微小部分\(dl\)から点\(P\)に対して直線を引きます。ここで、

  • 導体の微小部分\(dl\)と点\(P\)との距離を\(R{\mathrm{[m]}}\)
  • 直流導体の原点と点\(P\)との距離を\(r{\mathrm{[m]}}\)
  • 直流導体の原点と導体の微小部分\(dl\)との距離を\(l{\mathrm{[m]}}\)
  • 導体の微小部分\(dl\)と点\(P\)との角度を\({\theta}\)

とします。

step
2
導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)を求める

この時、導体の微小部分\(dl\)が点\(P\)に作る磁界の強さ\(dH\)はビオ・サバールの公式より次式となります。

\begin{eqnarray}
dH=\frac{1}{4{\pi}}{\cdot}\frac{Idl{\sin}{\theta}}{R^2}{\mathrm{[A/m]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

step
3
『導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)』を積分して『導体全体が作る磁界の強さ\(H\)』を求める

導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)を積分することで、導体全体が作る磁界の強さ\(H\)を求めます。

今回、無限長の直流導体の導体全体を考えます。積分範囲は\(-{\infty}~{\infty}\)となるため、(3)式を積分すると次式となります。

\begin{eqnarray}
H={\displaystyle\int}_{-{\infty}}^{{\infty}}dH={\displaystyle\int}_{-{\infty}}^{{\infty}}\frac{I{\sin}{\theta}}{4{\pi}R^2}dl{\mathrm{[A/m]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

また、上図より以下の(5)式と(6)式を得ることができます。

\begin{eqnarray}
R{\sin}{\theta}&=&r\\
{\Leftrightarrow}R&=&\frac{r}{{\sin}{\theta}}\tag{5}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
l{\tan}{\theta}&=&-r\\
{\Leftrightarrow}l&=&-\frac{r}{{\tan}{\theta}}\tag{6}
\end{eqnarray}

(6)式において、距離\(l\)は原点より下側の領域なのでマイナスをつけています。(6)式を\({\theta}\)で微分すると次式となります。

\begin{eqnarray}
\frac{dl}{d{\theta}}&=&\frac{d}{d{\theta}}\left(-\frac{r}{{\tan}{\theta}}\right)\\
&=&r×\frac{1}{{\tan}^2{\theta}}×\frac{1}{{\cos}^2{\theta}}\\
&=&\frac{r}{{\sin}^2{\theta}}\tag{7}
\end{eqnarray}

また、\(l=-{\infty}\)の時は\({\theta}=0\)、\(l={\infty}\)の時は\({\theta}={\pi}\)となります。

したがって、(5)式と(7)式を(4)式に代入すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
H&=&{\displaystyle\int}_{-{\infty}}^{{\infty}}\frac{I{\sin}{\theta}}{4{\pi}R^2}dl\\
&=&{\displaystyle\int}_{0}^{{\pi}}\frac{I}{4{\pi}}×\frac{{\sin}{\theta}}{\left(\displaystyle\frac{r}{{\sin}{\theta}}\right)^2}×\frac{r}{{\sin}^2{\theta}}d{\theta}\\
&=&{\displaystyle\int}_{0}^{{\pi}}\frac{I}{4{\pi}}×\frac{{\sin}^3{\theta}}{r^2}×\frac{r}{{\sin}^2{\theta}}d{\theta}\\
&=&{\displaystyle\int}_{0}^{{\pi}}\frac{I}{4{\pi}r}×{\sin}{\theta}d{\theta}\\
&=&\frac{I}{4{\pi}r}\left[-{\cos}{\theta}\right]_{0}^{{\pi}}\\
&=&\frac{I}{4{\pi}r}\left(-{\cos}{\pi}+{\cos}{0}\right)\\
&=&\frac{I}{4{\pi}r}\left(1+1\right)\\
&=&\frac{I}{2{\pi}r}\tag{8}
\end{eqnarray}

以上より、無限長の直流導体に流れる直流電流が点\(P\)に作る磁界の強さは次式となります。

無限長の直流導体が作る磁界の強さ

\begin{eqnarray}
H=\displaystyle\frac{I}{2{\pi}r}\tag{9}
\end{eqnarray}

円電流が作る磁界の強さH

【ビオ・サバールの法則】 円電流が作る磁界の強さ

『円形コイルに流れる円電流が点\(P\)に作る磁界の強さ\(H\)』を求める際にも、直流導体と同様に以下の3ステップで求めます。

磁界の強さHを求める3ステップ

  1. 導体の微小部分\(dl\)から点\(P\)に対して直線を引く。
  2. 導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)を求める。
  3. 『導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)』を積分して『導体全体が作る磁界の強さ\(H\)』を求める。

step
1
導体の微小部分\(dl\)から点\(P\)に対して直線を引く

1回巻きの円形コイルにおいて、導体の微小部分\(dl\)から点\(P\)に対して直線を引きます。ここで、

  • 円形コイルの微小部分\(dl\)と点\(P\)との距離を\(R{\mathrm{[m]}}\)
  • 円形コイルの中心\(O\)と点\(P\)との距離を\(y{\mathrm{[m]}}\)
  • 円形コイルの中心\(O\)と導体の微小部分\(dl\)との距離を\(r{\mathrm{[m]}}\)
  • 円形コイルの微小部分\(dl\)と点\(P\)との角度を\({\phi}\)

とします。

step
2
導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)を求める

この時、導体の微小部分\(dl\)が点\(P\)に作る磁界の強さ\(dH\)はビオ・サバールの公式より次式となります。

\begin{eqnarray}
dH=\frac{1}{4{\pi}}{\cdot}\frac{Idl{\sin}{\theta}}{R^2}{\mathrm{[A/m]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

ここで、円形コイルの微小部分\(dl\)の接線\(Q\)は点\(P\)に対して常に垂直(\({\theta}=90°=\displaystyle\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\))となるため、『(\({\sin}{\theta}=1\))』となります。

(10)式の角度(\({\theta}\))は上図の角度\({\phi}\)ではなく、微小部分\(dl\)の接線\(Q\)と点\(P\)との角度なので注意してくださいね。

したがって、(10)式は次式となります。

\begin{eqnarray}
dH&=&\frac{1}{4{\pi}}{\cdot}\frac{Idl{\sin}{\theta}}{R^2}\\
&=&\frac{1}{4{\pi}}{\cdot}\frac{Idl×1}{R^2}\\
&=&\frac{Idl}{4{\pi}R^2}\tag{11}
\end{eqnarray}

ここで、上図より\(dH\)のx成分\(dH_{x}\)は微小部分\(dl\)が一周すると全て打ち消し合って『0』となるため、y成分\(dH_{y}\)のみを考えます。\(dH_{y}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
dH_{y}&=&dH{\sin}{\phi}\\
&=&\frac{Idl}{4{\pi}R^2}{\sin}{\phi}\tag{12}
\end{eqnarray}

step
3
『導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH\)』を積分して『導体全体が作る磁界の強さ\(H\)』を求める

導体の微小部分\(dl\)が作る磁界の強さ\(dH_{y}\)を積分することで、導体全体が作る磁界の強さ\(H\)を求めます。

今回、円形コイルの導体全体を考えます。半径\(r\)の円形コイルの円周は\(2{\pi}r\)より、積分範囲は\(0~2{\pi}r\)となるため、(12)式を積分すると次式となります。

\begin{eqnarray}
H={\displaystyle\int}_{0}^{2{\pi}r}dH_{y}={\displaystyle\int}_{0}^{2{\pi}r}\frac{I}{4{\pi}R^2}{\sin}{\phi}dl{\mathrm{[A/m]}}\tag{13}
\end{eqnarray}

また、上図より以下の(14)式と(15)式を得ることができます。

\begin{eqnarray}
R=\sqrt{r^2+y^2}\tag{14}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
{\sin}{\phi}=\frac{r}{R}=\frac{r}{\sqrt{r^2+y^2}}\tag{15}
\end{eqnarray}

したがって、(14)式と(15)式を(13)式に代入すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
H&=&{\displaystyle\int}_{0}^{2{\pi}r}\frac{I}{4{\pi}R^2}{\sin}{\phi}dl\\
&=&{\displaystyle\int}_{0}^{2{\pi}r}\frac{I}{4{\pi}\left(\sqrt{r^2+y^2}\right)^2}\frac{r}{\sqrt{r^2+y^2}}dl\\
&=&{\displaystyle\int}_{0}^{2{\pi}r}\frac{rI}{4{\pi}\left(r^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}dl\\
&=&\frac{rI}{4{\pi}\left(r^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}{\displaystyle\int}_{0}^{2{\pi}r}dl\\
&=&\frac{rI}{4{\pi}\left(r^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}\left[l\right]_{0}^{2{\pi}r}\\
&=&\frac{rI}{4{\pi}\left(r^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}×2{\pi}r\\
&=&\frac{r^2I}{2\left(r^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}\tag{16}
\end{eqnarray}

(16)式は円形コイルの中心軸上において、円形コイルの中心\(O\)から距離\(y\)の位置にある点\(P\)における磁界の強さ\(H\)となります。

ゆえに、円形コイルの中心\(O\)における磁界の強さ\(H\)は(16)式において\(y=0\)を代入すると、

\begin{eqnarray}
H&=&\frac{r^2I}{2\left(r^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}\\
&=&\frac{r^2I}{2\left(r^2+0^2\right)^\frac{3}{2}}\\
&=&\frac{r^2I}{2r^3}\\
&=&\frac{I}{2r}\tag{17}
\end{eqnarray}

となります。以上より、円形コイルに流れる円電流が点\(P\)に作る磁界の強さ\(H\)と中心\(O\)に作る磁界の強さ\(H\)は次式となります。

円形コイルが作る磁界の強さ

  • 円形コイルに流れる円電流が点\(P\)に作る磁界の強さ\(H\)
  • \begin{eqnarray}
    H=\frac{r^2I}{2\left(r^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}\tag{18}
    \end{eqnarray}

  • 円形コイルに流れる円電流が中心\(O\)に作る磁界の強さ\(H\)
  • \begin{eqnarray}
    H=\frac{I}{2r}\tag{19}
    \end{eqnarray}

なお、上式は1回巻きの円形コイルにおける磁界の強さ\(H\)となります。1回巻きではなく、数回巻いてある場合には、磁界の強さ\(H\)を『巻き数倍』する必要があります。すなわち、1回巻きではなくn回巻きの場合には磁界の強さ\(H\)は次式となります。

円形コイルが作る磁界の強さ

  • 円形コイルに流れる円電流が点\(P\)に作る磁界の強さ\(H\)
  • \begin{eqnarray}
    H=n\frac{r^2I}{2\left(r^2+y^2\right)^\frac{3}{2}}\tag{20}
    \end{eqnarray}

  • 円形コイルに流れる円電流が中心\(O\)に作る磁界の強さ\(H\)
  • \begin{eqnarray}
    H=n\frac{I}{2r}\tag{21}
    \end{eqnarray}

まとめ

この記事ではビオ・サバールの法則ついて、以下の内容を説明しました。

当記事のまとめ

  • ビオ・サバールの法則とは
  • ビオ・サバールの法則の『積分』
  • 直流電流が作る磁界の強さHの導出
  • 円電流が作る磁界の強さHの導出

お読み頂きありがとうございました。

当サイトでは電気に関する様々な情報を記載しています。当サイトの全記事一覧には以下のボタンから移動することができます。

全記事一覧

スポンサーリンク
スポンサーリンク

© 2020 Electrical Information Powered by AFFINGER5