電池の「内部抵抗」と「起電力と端子電圧の関係」について

電池に機器を接続すると、電池の電圧が下がることがあります。この現象を理解するうえで重要なのが、「電池の内部抵抗」です。

この記事では「電池の内部抵抗」について、以下の内容を図を用いてわかりやすく説明します。

• 電池の内部抵抗\(r\)の意味と等価回路
• 起電力と端子電圧の違い・関係式
• 端子電圧と電流のグラフの読み方
• 開放時と短絡時の電流・端子電圧

電池の内部抵抗とは

電池の内部には、非常に小さな抵抗\(r\)があります。この抵抗\(r\)を内部抵抗といいます。

そのため、電池は上図に示しているように、「起電力\(E\)を持つ理想的な電源」と「内部抵抗\(r\)」が直列接続している回路で表わすことができます。

起電力\(E\)は、電池の化学反応によって生じる電圧で、単位は\({\mathrm{[V]}}\)（ボルト）です。一方、端子電圧\(V\)は、電池の両端電圧（プラス極とマイナス極の間の電圧）です。電池に接続した機器や抵抗にかかる電圧は、この端子電圧になります。単位は起電力と同じ\({\mathrm{[V]}}\)です。

電池の起電力\(E\)と端子電圧\(V\)の関係

上図の左側は、起電力が\(E{\mathrm{[V]}}\)、内部抵抗が\(r{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の電池に、抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を接続した回路です。

上図の右側は、縦軸が「電池の端子電圧\(V\)」、横軸が「電池から流れる電流\(I\)」のグラフです。

電池の内部抵抗\(r\)が\(0{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の理想的な電池では、電流\(I\)が流れても、内部抵抗\(r\)による電圧降下\(rI\)がないため、起電力\(E\)と端子電圧\(V\)が等しくなります（上図の青色の直線）。

しかし、実際の電池は内部抵抗\(r\)を持っているため、電流\(I\)が流れると、内部抵抗\(r\)による電圧降下\(rI\)が生じ、電池の端子電圧\(V\)は起電力\(E\)よりも小さくなります（\(V {\leq} E\)）。

この回路では、起電力\(E\)は「内部抵抗にかかる電圧\(rI\)」と「外部の抵抗にかかる端子電圧\(V\)」の和になります。したがって、起電力と端子電圧の関係は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
E&=&rI+V\\
\\
{\Leftrightarrow}V&=&E-rI\tag{1}
\end{eqnarray}

(1)式から、「端子電圧\(V\)」は「起電力\(E\)」から「内部抵抗\(r\)による電圧降下\(rI\)」を引いた値になっていることが分かります。\(rI\)の単位は\({\mathrm{[V]}}\)で、内部抵抗\(r\)に電流\(I\)が流れることによって失われる電圧分を表します。

起電力\(E\)と内部抵抗\(r\)が一定なら、電流\(I\)が増えるほど電圧降下\(rI\)が増え、電池の端子電圧\(V\)は低下します。(1)式をグラフにすると、上図の赤色の直線になります。

電流\(I\)が\(0{\mathrm{[A]}}\)の時は端子電圧\(V\)と起電力\(E\)が等しくなり（\(V=E\)）、電流\(I\)が\(\displaystyle\frac{E}{r}{\mathrm{[A]}}\)のときは端子電圧\(V\)が\(0{\mathrm{[V]}}\)になります。また、グラフの直線の傾きは、(1)式より「\(-r\)」となります。内部抵抗\(r\)が大きいほど、電流\(I\)の増加に対する端子電圧\(V\)の低下が大きくなります。

次に、このグラフの描き方について詳しく説明します。

電池から流れる電流\(I\)が\(0{\mathrm{[A]}}\)の時

(1)式に\(I=0{\mathrm{[A]}}\)を代入すると、「グラフの縦軸(端子電圧\(V\))」と「赤色の直線」の交点を求めることができます。

では実際に計算してみましょう。

(1)式に\(I=0{\mathrm{[A]}}\)を代入すると、端子電圧\(V\)は次式のようになります。

\begin{eqnarray}
V&=&E-rI\\
\\
&=&E-r×0\\
\\
&=&E{\mathrm{[V]}}\tag{2}
\end{eqnarray}

そのため、「グラフの縦軸（端子電圧\(V\)）」と「赤色の直線」の交点は\(E{\mathrm{[V]}}\)となります。

電池から流れる電流\(I\)が\(0{\mathrm{[A]}}\)の時は、内部抵抗\(r\)による電圧降下\(rI\)が\(0{\mathrm{[V]}}\)となるため、端子電圧\(V\)と起電力\(E\)が等しくなるのです（\(V=E\)）。

端子電圧\(V\)が\(0{\mathrm{[V]}}\)の時

(1)式に\(V=0{\mathrm{[V]}}\)を代入すると、「グラフの横軸（電流\(I\)）」と「赤色の直線」の交点を求めることができます。

では実際に計算してみましょう。

(1)式に\(V=0{\mathrm{[V]}}\)を代入すると、電池から流れる電流\(I\)は次式のようになります。

\begin{eqnarray}
V&=&E-rI\\
\\
{\Leftrightarrow}I&=&\frac{E-V}{r}\\
\\
&=&\frac{E-0}{r}\\
\\
&=&\frac{E}{r}\tag{3}
\end{eqnarray}

そのため、「グラフの横軸（電流\(I\)）」と「赤色の直線」の交点は\(\displaystyle\frac{E}{r}{\mathrm{[A]}}\)となります。

「電池から流れる電流\(I\)が\(0{\mathrm{[A]}}\)の時（\(V=E{\mathrm{[V]}}\)の時）」と「端子電圧\(V\)が\(0{\mathrm{[V]}}\)になる時（\(I=\displaystyle\frac{E}{r}{\mathrm{[A]}}\)の時）」を結んだ直線が「電池の端子電圧\(V\)」と「電池から流れる電流\(I\)」の関係を表したグラフ（赤色の直線）となります。

本記事のまとめ

この記事では「電池の内部抵抗」について、以下の内容を説明しました。

• 電池は、起電力\(E\)を持つ理想的な電源と内部抵抗\(r\)を直列接続した等価回路で表せる。
• 放電時の端子電圧は\(V=E-rI\)で、起電力\(E\)と内部抵抗\(r\)が一定なら、電流\(I\)が増えるほど低下する。
• 開放時は電流\(I\)が流れないため、この等価回路では端子電圧\(V\)と起電力\(E\)が等しくなる。
• 内部抵抗\(r>0\)で理想的に短絡した場合、端子電圧\(V\)はゼロ、電流は\(\displaystyle\frac{E}{r}\)となる。実際の電池は短絡しない。

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