【インダクタの直列接続】インダクタンスの『計算』と『証明』について！

この記事では『インダクタの直列接続』について

• 直列接続されたインダクタの合成インダクタンスの『計算方法』・『証明』・『例題』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

【インダクタの直列接続】インダクタンスの『計算』

インダクタ\(L_1\)とインダクタ\(L_2\)を直列に接続することを「インダクタの直列接続」といいます。

「インダクタンスが\(L_1{\mathrm{[H]}}\)のインダクタ」と「インダクタンスが\(L_2{\mathrm{[H]}}\)のインダクタ」が直列接続されている時、合成インダクタンス\(L\)は各インダクタのインダクタンスの和で計算することができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
L=L_1+L_2{\mathrm{[H]}}\tag{1}
\end{eqnarray}

Nつのインダクタが直列接続されている時

(1)式はインダクタが3つ以上直列接続されている時にも成り立ちます。

上図に示しているのは、Nつのインダクタ(各インダクタのインダクタンスを\(L_1{\mathrm{[H]}}\),\(L_2{\mathrm{[H]}}\),・・・,\(L_N{\mathrm{[H]}}\)とする)が直列接続されている回路です。

この回路においても、合成インダクタンス\(L\)は各インダクタのインダクタンスの和で計算することができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
L=L_1+L_2+{\cdots}+L_N{\mathrm{[H]}}\tag{2}
\end{eqnarray}

例えば、3つのインダクタ(各インダクタのインダクタンスを\(L_1{\mathrm{[H]}}\),\(L_2{\mathrm{[H]}}\),\(L_3{\mathrm{[H]}}\)とする)が直列接続されている時の合成インダクタンス\(L\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
L=L_1+L_2+L_3{\mathrm{[H]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

【インダクタの直列接続】インダクタンスの『証明』

上図に示すように、「\(L_1{\mathrm{[H]}}\)のインダクタ」と「\(L_2{\mathrm{[H]}}\)のインダクタ」を直列接続した後、電源電圧\(v{\mathrm{[V]}}\)を印加します。

この時、回路に流れる電流を\(i{\mathrm{[A]}}\)とすると、「インダクタ\(L_1\)にかかる電圧\(v_1\)」と「インダクタ\(L_2\)にかかる電圧\(v_2\)」は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
v_1&=&L_1\frac{di}{dt}\tag{4}\\
\\
v_2&=&L_2\frac{di}{dt}\tag{5}
\end{eqnarray}

また、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)は各インダクタにかかる電圧の和となるので、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
v=v_1+v_2\tag{6}
\end{eqnarray}

ここで、2つのインダクタ(\(L_1{\mathrm{[H]}}\)と\(L_2{\mathrm{[H]}}\))をまとめて1つのインダクタとした時のインダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)とすると、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
v&=&L\frac{di}{dt}\tag{7}
\end{eqnarray}

(4)式と(5)式と(7)式を(6)式に代入すると、次式のようになり、合成インダクタンス\(L\)は各インダクタのインダクタンスの和で計算できることが分かります。

\begin{eqnarray}
v&=&v_1+v_2\\
\\
{\Leftrightarrow}L\frac{di}{dt}&=&L_1\frac{di}{dt}+L_2\frac{di}{dt}\\
\\
{\Leftrightarrow}L&=&L_1+L_2{\mathrm{[H]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

【インダクタの直列接続】インダクタンスを求める例題

例題

上図に示した回路において、インダクタ\(L_1\)が\(6{\mathrm{[H]}}\)、インダクタ\(L_2\)が\(2{\mathrm{[H]}}\)の時、インダクタ\(L_1\)と\(L_2\)の合成インダクタンス\(L\)は何\({\mathrm{H}}\)でしょうか。

解答

「\(L_1=6{\mathrm{[H]}}\)」と「\(L_2=2{\mathrm{[H]}}\)」を(1)式に代入すると、インダクタ\(L_1\)と\(L_2\)の合成インダクタンス\(L\)を求めることができ、下記の値となります。

\begin{eqnarray}
L&=&L_1+L_2{\mathrm{[H]}}\\
\\
&=&6+2{\mathrm{[H]}}\\
\\
&=&8{\mathrm{[H]}}\tag{13}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では『インダクタの直列接続』について、以下の内容を説明しました。

• 直列接続されたインダクタの合成インダクタンスの『計算方法』・『証明』・『例題』

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