オペアンプを用いたローパスフィルタを解説！伝達関数の計算など！

この記事では『オペアンプを用いたローパスフィルタ』について

オペアンプを用いたローパスフィルタとは
オペアンプを用いたローパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』
オペアンプを用いたローパスフィルタの『周波数特性』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

オペアンプを用いたローパスフィルタ

上図にオペアンプを用いたローパスフィルタを示しています。

オペアンプを用いたローパスフィルタは、オペアンプと抵抗\(R_1,R_2\)とコンデンサ\(C\)で構成されているローパスフィルタです。入力電圧\(V_{IN}\)の低周波成分を通過させ、高周波成分を遮断します。

コンデンサ\(C\)が無ければ、回路構成は反転増幅回路と同じになります。そのため、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\left(=\displaystyle\frac{1}{j2{\pi}fC}\right)\)が非常に大きくなる領域(周波数\(f\)が低い領域)では、コンデンサ\(C\)をオープン(開放状態)に見なすことができるので、反転増幅回路として動作をします。

オペアンプを用いたローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』

『伝達関数』と『ゲイン』の導出方法について説明します。

上図に示すように、抵抗\(R_1\)のインピーダンスを\({\dot{Z}_1}\)、抵抗\(R_2\)とコンデンサ\(C\)の合成インピーダンスを\({\dot{Z}_2}\)とすると、出力電圧\(V_{OUT}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}=-\frac{{\dot{Z}_2}}{{\dot{Z}_1}}V_{IN}\tag{2-1}
\end{eqnarray}

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(2-1)式の導出方法については、『反転増幅回路における出力電圧\(V_{OUT}\)の導出方法』と同じ考え方となります。反転増幅回路については下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

: 『反転増幅回路』を分かりやすく解説！【オペアンプ】
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インピーダンス\({\dot{Z}_1}\)とインピーダンス\({\dot{Z}_2}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_1}&=&R_1\tag{2-2}\\
\\
{\dot{Z}_2}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_2}+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}}=\frac{R_2}{1+j{\omega}CR_2}\tag{2-3}\\
\end{eqnarray}

(2-2)式と(2-3)式を(2-1)式に代入すると、出力電圧\(V_{OUT}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}&=&-\frac{{\dot{Z}_2}}{{\dot{Z}_1}}V_{IN}\\
\\
&=&-\frac{\displaystyle\frac{R_2}{1+j{\omega}CR_2}}{R_1}V_{IN}\\
\\
&=&-\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{1+j{\omega}CR_2}V_{IN}\tag{2-4}
\end{eqnarray}

オペアンプを用いたローパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比です。そのため、(2-4)式を変形すると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=-\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{1+j{\omega}CR_2}\tag{2-5}
\end{eqnarray}

(2-5)式の分母には虚数単位\(j\)があります。ここで分子のみに虚数単位\(j\)がくるようにするために、分母と分子に『\(1-j{\omega}CR_2\)』を掛けます。すると、(2-5)式は次式に変形することができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&-\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{1+j{\omega}CR_2}{\cdot}\frac{1-j{\omega}CR_2}{1-j{\omega}CR_2}\\
\\
&=&-\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1-j{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_2)^2}\\
\\
&=&-\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{1+({\omega}CR_2)^2}+j\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_2)^2}\tag{2-6}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がオペアンプを用いたローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)となります。もう少し詳しく説明すると、オペアンプを用いたローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)は(2-6)式において、『実部\(\left\{-\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{1+({\omega}CR_2)^2}\right\}\)の2乗』と『虚部\(\left\{\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_2)^2}\right\}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができます。そのため、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\sqrt{\left\{-\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{1+({\omega}CR_2)^2}\right\}^2+\left\{\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_2)^2}\right\}^2}\\
\\
&=&\frac{R_2}{R_1}\sqrt{\frac{1+({\omega}CR_2)^2}{\left\{1+({\omega}CR_2)^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\frac{R_2}{R_1}\sqrt{\frac{1}{1+({\omega}CR_2)^2}}\\
\\
&=&\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{\sqrt{1+({\omega}CR_2)^2}}\tag{2-7}
\end{eqnarray}

ここで、角周波数\({\omega}\)は\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があるので、(2-7)式の\({\omega}\)を\(2{\pi}f\)に書き換えると、次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|=\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR_2)^2}}\tag{2-8}
\end{eqnarray}

なお、オペアンプを用いたローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)をデシベル表示にしたものを\(G_{dB}(j{\omega})\)とすると、\(G_{dB}(j{\omega})\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}|G(j{\omega})|\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{\sqrt{1+({\omega}CR_2)^2}}{\mathrm{[dB]}}\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR_2)^2}}{\mathrm{[dB]}}\tag{2-9}
\end{eqnarray}

これで、オペアンプを用いたローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出は終わりです。

オペアンプを用いたローパスフィルタの『カットオフ周波数』

カットオフ周波数\(f_C\)は、オペアンプを用いたローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)が3dB下がる(\(\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\;}{\approx}{\;}\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}0.707\right)\)になる)周波数であり、次式となります。

\begin{eqnarray}
\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{\sqrt{2}}&=&|G(j{\omega})|\\
\\
&=&\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{\sqrt{1+(2{\pi}fC_CR_2)^2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}\sqrt{1+(2{\pi}f_CCR_2)^2}&=&\sqrt{2}\\
\\
1+(2{\pi}f_CCR_2)^2&=&2\\
\\
(2{\pi}f_CCR_2)^2&=&1\\
\\
2{\pi}f_CCR_2&=&1\\
\\
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR_2}\tag{3-1}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)はオペアンプを用いたローパスフィルタによって、カットオフ周波数\(f_C\)より低い成分の周波数はほとんど通過し、カットオフ周波数\(f_C\)より高い成分の周波数は減衰します。

オペアンプを用いたローパスフィルタの『位相』

繰り返しになりますが、オペアンプを用いたローパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=-\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{1+({\omega}CR_2)^2}+j\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_2)^2}\tag{4-1}
\end{eqnarray}

複素平面(横軸は実数の目盛、縦軸は虚数の目盛であり、ガウス平面とも呼ばれている)上に(4-1)式のベクトルを描くと上図のようになります。このベクトル図よりオペアンプを用いたローパスフィルタの位相\({\theta}\)が決まります。

周波数\(f\)が非常に低く、『虚部\(\left\{\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_2)^2}\right\}\)』が『実部\(\left\{-\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{1+({\omega}CR_2)^2}\right\}\)』よりも非常に小さくなる時、位相\({\theta}\)は約\({\pi}{\mathrm{[rad]}}(=180{\mathrm{°}})\)となります。

周波数\(f\)が非常に高く、『虚部\(\left\{\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_2)^2}\right\}\)』が『実部\(\left\{-\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{1+({\omega}CR_2)^2}\right\}\)』よりも非常に大きくなる時、位相\({\theta}\)は約\(\displaystyle\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}(=90{\mathrm{°}})\)となります。

[rad]を[°(度)]に変換するためには、\(\displaystyle\frac{180}{{\pi}}\)を掛けます。

オペアンプを用いたローパスフィルタの『周波数特性』

一例として、抵抗\(R_1=1{\mathrm{[kΩ]}},R_2=10{\mathrm{[kΩ]}}\)、コンデンサ\(C=0.1{\mathrm{[μF]}}\)のオペアンプを用いたローパスフィルタにおいて、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)と位相\({\theta}\)の周波数特性を上図に示しています。

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\left(=\displaystyle\frac{1}{j2{\pi}fC}\right)\)が非常に大きくなる領域(周波数\(f\)が低い領域)では、コンデンサ\(C\)をオープン(開放状態)に見なすことができるので、反転増幅回路として動作をします。そのため、周波数\(f\)が低い領域では、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\\
\\
&=&20{\log}_{10}\displaystyle\frac{10×10^3}{1×10^3}\\
\\
&=&20{\mathrm{[dB]}}\tag{5-1}
\end{eqnarray}

また、オペアンプを用いたローパスフィルタのカットオフ周波数\(f_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR_2}\\
\\
&=&\frac{1}{2{\pi}×0.1×10^{-6}×10×10^{3}}\\
\\
&=&159.154{\cdots}\\
\\
&{\approx}&159{\mathrm{[Hz]}}\tag{5-2}
\end{eqnarray}

上図を見ると、カットオフ周波数\(f_C{\;}{\approx}{\;}159{\mathrm{[Hz]}}\)でゲイン\(|G(j{\omega})|\)が約－3dB下がっていることが確認できます(20dB－3dB=17dBになっている)。そして、その時の位相\({\theta}\)が135°になっていることが確認できます。

また、周波数\(f\)が高くて『\(1{\;}{\ll}{\;}(2{\pi}fCR_2)^2\)』とみなせる場合、『1』を無視すると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR_2)^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{\sqrt{(2{\pi}fCR_2)^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{2{\pi}fCR_2}\tag{5-3}
\end{eqnarray}

上式より、周波数\(f\)が10倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が1/10になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}\displaystyle\frac{1}{10}=-20{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が高い領域では、－20[dB/dec]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が減少しています。

同様に、周波数fが2倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が1/2になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}\displaystyle\frac{1}{2}=-6{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が高い領域では、－6[dB/oct]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が減少しているとも言います。

周波数fが2倍になることをoct(オクターブ)、10倍になることをdec(ディケード)といいます。