【RC放電回路のラプラス変換】『過渡現象』の解き方！

この記事ではRC放電回路の『ラプラス変換による過渡現象の解き方』について説明しています。

分かりやすく説明するために、図を多く用いており、式の導出過程も細かく書くように意識しています。

【RC放電回路】『過渡現象』の式とグラフ

上図は抵抗\(R{\mathrm{[Ω]}}\)、コンデンサ\(C{\mathrm{[F]}}\)、直流電源\(E{\mathrm{[V]}}\)、スイッチ\(SW\)からなるRC放電回路です。

この記事では、以下の条件における『過渡現象』の式を導出します。

条件

スイッチ\(SW\)を『\(a\)』に入れて、定常状態にさせる。

→つまり、コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q(t)\)が『\(q(t)=CE{\mathrm{[C]}}\)』となる。

その後、スイッチ\(SW\)を『\(b\)』に切り替える。その時の時間\(t\)を\(t=0{\mathrm{[s]}}\)とする。

スイッチ\(SW\)を『\(b\)』に切り替えると、以下の過渡現象が生じます。

コンデンサ\(C\)に蓄えらえている電荷\(q(t)\)が放出し、抵抗\(R\)に電流\(i(t)\)が流れる。
ある程度時間が経過すると、コンデンサ\(C\)に蓄えらえている電荷\(q(t)\)が無くなる(つまり、一定値\(0{\mathrm{[C]}}\)になる)。またその時、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が\(0{\mathrm{[V]}}\)になる。

なお、コンデンサ(\(C\)に蓄えらえている電荷\(q(t)\)が一定値\(0{\mathrm{[C]}}\)となった状態を「定常状態」、「定常状態」に至るまでの状態を「過渡状態」、その過程で見られる現状を「過渡現象」といいます。

また、RC放電回路に流れる電流\(i(t)\)、コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q(t)\)、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)の式とグラフは下記となります。

\begin{eqnarray}
i(t)&=&-\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t}\\
q(t)&=&CEe^{-\frac{1}{CR}t}\\
v_{R}(t)&=&-Ee^{-\frac{1}{CR}t}\\
v_{C}(t)&=&Ee^{-\frac{1}{CR}t}
\end{eqnarray}

この記事では上式をラプラス変換を用いて解いていきます。なお、上式は微分方程式を解く最も基本的なパターンの変数分離形の微分方程式にして、直接解くことも可能です。

変数分離形の微分方程式にして、直接解く方法については以下の記事に詳しく説明していますので、参考にしてください。

: 【RC放電回路の微分方程式】『過渡現象』の解き方！
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補足

コンデンサ\(C\)から電流が流れ出て電荷が減る現象のことを放電といいます。
コンデンサ\(C\)に電流が流れ込み、電荷が増える現象のことを充電といいます。
RC放電回路の放電時間は『コンデンサ\(C\)と抵抗\(R\)の積\(CR\)』によって変わります。この、\(CR\)は一般的に時定数τ(タウ)と呼ばれています。

【RC放電回路】『ラプラス変換』による解き方

ラプラス変換を用いてRC放電回路の過渡現象を解く場合、以下の①～④の手順で行います。

ラプラス変換の手順

回路方程式をたてる

→対象となる回路(今回はRC放電回路)のt関数による回路方程式をたてます。

ラプラス変換し、s領域の方程式にする

→①で求めた回路方程式をラプラス変換して、s領域の方程式にします。この際、初期条件も考慮する必要があります。

s領域の方程式を解く

→求めたいs関数の式にします。今回は『\(I(s)={\cdots}\)』の式にします。

ラプラス逆変換する

→③で求めた式をラプラス逆変換して、t領域の方程式にします。

ではこれから、各手順について順番に説明していきます。

【RC放電回路】回路方程式をたてる

RC放電回路を下図に示します。

上図のRC放電回路にキルヒホッフの電圧則(キルヒホッフの第二法則)を用いると次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
0=v_{R}(t)+v_{C}(t)\tag{1}
\end{eqnarray}

(1)式において、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)とコンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
v_{R}(t)&=&Ri(t)\tag{2}\\
v_{C}(t)&=&\frac{1}{C}{\displaystyle\int}i(t)dt\tag{3}
\end{eqnarray}

(2)式と(3)式を(1)式に代入すると、次式が得られます。

\begin{eqnarray}
0&=&v_{R}(t)+v_{C}(t)\\
&=&Ri(t)+\frac{1}{C}{\displaystyle\int}i(t)dt\tag{4}
\end{eqnarray}

上式が、RC放電回路のt領域の回路方程式となります。

【RC放電回路】ラプラス変換し、s領域の方程式にする

(4)式をラプラス変換すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
0=RI(s)+\frac{1}{C}\left(\frac{I(s)}{s}+\frac{q(0)}{s}\right)\tag{5}
\end{eqnarray}

(5)式において、『\(q(0)\)』は『\(t=0\)』の時におけるコンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷です。スイッチ\(SW\)を『\(b\)』に切り替える前は、コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q(t)\)が『\(CE\)』であるため、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
q(0)=CE\tag{6}
\end{eqnarray}

(6)式を(5)式に代入すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
0&=&RI(s)+\frac{1}{C}\left(\frac{I(s)}{s}+\frac{CE}{s}\right)\\
&=&RI(s)+\frac{1}{sC}I(s)+\frac{1}{s}E\tag{7}
\end{eqnarray}

上式が、RC放電回路のs領域の方程式となります。

【RC放電回路】s領域の方程式を解く

(7)式を『\(I(s)={\cdots}\)』の式に変換します。

(7)式を\(I(s)\)で整理すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
\left(R+\frac{1}{sC}\right)I(s)=-\frac{E}{s}\tag{8}
\end{eqnarray}

(8)式の両辺を\(R+\displaystyle\frac{1}{sC}\)で割ると次式となります。

\begin{eqnarray}
I(s)=-\frac{E}{s\left(R+\displaystyle\frac{1}{sC}\right)}\tag{9}
\end{eqnarray}

(9)式の右辺の分子と分母を\(R\)で割ると次式となります。

\begin{eqnarray}
I(s)&=&-\frac{\displaystyle\frac{E}{R}}{s\left(1+\displaystyle\frac{1}{sCR}\right)}\\
&=&-\frac{E}{R}\frac{1}{s+\displaystyle\frac{1}{CR}}\tag{10}
\end{eqnarray}

このように、変形することで、『\(I(s)={\cdots}\)』にすることができます。なお、(10)式はこの後に説明するラプラス逆変換をしやすいように変形しています。

【RC放電回路】ラプラス逆変換する

(10)式をラプラス逆変換すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
i(t)&=&{\mathcal{L}}^{-1}\left[I(s)\right]\\
&=&{\mathcal{L}}^{-1}\left[-\frac{E}{R}\frac{1}{s+\displaystyle\frac{1}{CR}}\right]\\
&=&-\frac{E}{R}{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s+\displaystyle\frac{1}{CR}}\right]\\
&=&-\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t}\tag{11}
\end{eqnarray}

以上より、RC放電回路に流れる電流\(i(t)\)の式を導出することができました。

RC放電回路に流れる電流\(i(t)\)が分かると、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)を簡単に求めることができます。

(11)式を(2)式に代入すると、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
v_{R}(t)&=&Ri(t)\\
&=&-Ee^{-\frac{1}{CR}t}\tag{12}
\end{eqnarray}

また、(11)式を(3)式に代入すると、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
v_{C}(t)&=&\frac{1}{C}{\displaystyle\int}i(t)dt\\
&=&\frac{1}{C}{\displaystyle\int}-\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t}dt\\
&=&-\frac{E}{CR}{\displaystyle\int}e^{-\frac{1}{CR}t}dt\\
&=&-\frac{E}{CR}\left(\frac{1}{-\displaystyle\frac{1}{CR}}e^{-\frac{1}{CR}t}\right)+D\\
&=&-\frac{E}{CR}\left(-CRe^{-\frac{1}{CR}t}\right)+D\\
&=&Ee^{-\frac{1}{CR}t}+D\tag{13}
\end{eqnarray}

(13)式において、\(D\)は積分定数となっています。

次に、(13)式の積分定数\(D\)を求める必要があります。

積分定数\(D\)は以下のように求めます。

積分定数Dの求め方

積分定数は回路の初期条件を用いることで求めることができます。

この回路の場合、『\(t=0\)』の時、すなわち、スイッチ\(SW\)を『\(b\)』に切り替える瞬間は、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は電源電圧の電圧\(E\)と等しくなっています。

そのため、初期条件は『\(t=0、v_{C}(0)=E\)』となります。

(13)式に初期条件を代入すると、

\begin{eqnarray}
v_{C}(0)&=&Ee^{-\frac{1}{CR}×0}+D\\
{\Leftrightarrow}E&=&-Ee^0+D\\
E&=&E×1+D\\
E&=&E+D\\
0&=&D\tag{14}
\end{eqnarray}

となります。

つまり、『\(t=0\)』の時、『\(D=0\)』となります。

(14)式を(13)式に代入すると、次式となり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)を導出することができます。

\begin{eqnarray}
v_{C}(t)&=&Ee^{-\frac{1}{CR}t}+0\\
&=&Ee^{-\frac{1}{CR}t}\tag{15}
\end{eqnarray}

この記事では、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)はRC放電回路に流れる電流\(i(t)\)を積分することで求めましたが、キルヒホッフの電圧則でも求めることができます。(1)式と(12)式を用いると(15)式と同じ結果になりますよ。

『\(Q=CV\)』より、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が分かると、コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q(t)\)を次式のように簡単に求めることができます。

\begin{eqnarray}
q(t)&=&Cv_{C}(t)\\
&=&CEe^{-\frac{1}{CR}t}\tag{16}
\end{eqnarray}

【補足】コンデンサの電圧が初期値の1/10になるまでの時間

例えば、(15)式を用いることでコンデンサの電圧\(v_{C}(t)\)が初期値から1/10になるまでの時間を求めることが出来ます。

(15)式において、\(v_{C}(t)=0.1E\)を代入するとコンデンサの電圧\(v_{C}(t)\)が初期値から1/10になるまでの時間\(t\)は、

\begin{eqnarray}
0.1E&=&Ee^{-\frac{1}{CR}t}\\
{\Leftrightarrow}0.1&=&e^{-\frac{1}{CR}t}\\
{\Leftrightarrow}{\log}_{e}0.1&=&-\frac{1}{CR}t\\
{\Leftrightarrow}t&=&CR{\log}_{e}10\tag{17}
\end{eqnarray}

となります。