【昇圧コンバータの設計】インダクタ(コイル)のインダクタンス値の導出

この記事では『昇圧コンバータ』において

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

インダクタLのインダクタンス値の導出

インダクタ\(L\)に流れる電流\(i_L\)の平均電流は入力電流\(I_{IN}\)と等しくなります。そのため、まず入力電流\(I_{IN}\)から求めます。入力電流\(I_{IN}\)は入力電圧\(V_{IN}\)、出力電流\(I_{OUT}\)、出力電圧\(V_{OUT}\)、効率\({\eta}\)から求めることができ、以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\eta}=\frac{P_{OUT}}{P_{IN}}=\frac{V_{OUT}I_{OUT}}{V_{IN}I_{IN}}\\
{\Leftrightarrow}I_{IN}=\frac{V_{OUT}I_{OUT}}{V_{IN}×{\eta}}\tag{1}
\end{eqnarray}

インダクタ\(L\)に流れる電流\(i_L\)のリプル率を\(k\)とすると、インダクタ電流のリプル\(di_L\)は以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
di_L=kI_{IN}=k\frac{V_{OUT}I_{OUT}}{V_{IN}×{\eta}}\tag{2}
\end{eqnarray}

ここで、インダクタ電流\(i_{L}\)とインダクタ電圧\(v_{L}\)の有名な関係式\(v_{L}=L\displaystyle\frac{di}{dt}\)を用いると、スイッチ\(S\)のオン期間\(T_{ON}\)において、インダクタ\(L\)には入力電圧\(V_{IN}\)がかかり、インダクタ電流\(i_L\)は\(di_L\)増加するので、以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
V_{IN}&=&L\frac{di_{L}}{T_{ON}}\\
{\Leftrightarrow}L&=&\frac{V_{IN}}{ di_{L}}{T_{ON}}\tag{3}
\end{eqnarray}

スイッチ\(S\)のオン期間\(T_{ON}\)は周期\(T\)、オンデューティ比\(D\)、スイッチング周波数\(f_{SW}\)、入力電圧\(V_{IN}\)、出力電圧\(V_{OUT}\)を用いると以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
T_{ON}=DT=\frac{D}{f_{SW}}=\frac{1}{f_{SW}}×\frac{ V_{OUT}- V_{IN}}{V_{OUT}}\tag{4}
\end{eqnarray}

(2)式、(3)式、(4)式を用いると、インダクタのインダクタンス\(L\)は以下の式で表されます。

上式より、インダクタンス\(L\)を大きくすれば、リプル\(di_L\)が小さくなりことが分かります。しかし、インダクタンス\(L\)を大きくすると、インダクタのサイズが大きくなります。リプル\(di_L\)とサイズはトレードオフの関係となります。

インダクタ電流のピーク値の導出

インダクタ\(L\)に流れる電流\(i_L\)のピーク値\(I_{L(MAX)}\)も導出します。インダクタ電流\(i_L\)は平均電流(入力電流\(I_{IN}\)と等しい)に対してリプル\(di_L\)が重ね合った波形となります。そのため、インダクタ\(L\)に流れる電流\(i_L\)のピーク値\(I_{L(MAX)}\)は以下の式で表されます。
\begin{eqnarray}
I_{L(MAX)}&=&I_{IN}+\frac{di_{L}}{2}\\
&=&I_{IN}+\frac{1}{2}kI_{IN}\\
&=&I_{IN}+\frac{1}{2}k\frac{V_{OUT}I_{OUT}}{V_{IN}×{\eta}}
\end{eqnarray}